【hihocoder 1511】树的方差

【题目链接】:http://hihocoder.com/problemset/problem/1511

【题意】

【题解】



有个方差的公式

V(X)=E(X2)−E(X)2

这里E(X)指的是X的期望;

显然所有树的度数的期望都是2*(n-1)/n

则问题转换成求E(X^2)了;

这里用到了树的prufer数列->关于prufer数列

即每一个prufer数列都对应了不同的树;

然后根据数列中的数字出现的次数和其在树中的度数的关系;

我们可以枚举每一个节点在prufer数列中出现的次数X;

在n-2个位置中选X个位置放这个节点->C(N-2,x)

则剩余n-2-x个位置,每个位置都有n-1种选择即(n-1)^(n-2-x)

然后它的度数就是X+1,因为求的是x方的期望,所以累加度数的时候加的是(x+1)^2

然后有n个节点,每个节点都可以这样,所以再乘个n;

这样我们就算出了;

所有n个节点的树;

所有节点的度数的平方的和;

则再除个n就是E(X^2)了;

分数的取模其实就是用乘法逆元搞;

和能整除的分数一样;

阶乘的乘法逆元求的时候只要求最大的那个,小的直接枚举就能得到;



【Number Of WA】



3



【完整代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define LL long long
#define rep1(i,a,b) for (int i = a;i <= b;i++)
#define rep2(i,a,b) for (int i = a;i >= b;i--)
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define ms(x,y) memset(x,y,sizeof x)

typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<LL,LL> pll;

const int dx[9] = {0,1,-1,0,0,-1,-1,1,1};
const int dy[9] = {0,0,0,-1,1,-1,1,-1,1};
const double pi = acos(-1.0);
const int N = 1e6+100;
const LL MOD = 998244353;

LL fac[N],rfac[N],ans = 0,n,pre[N],ex;

LL ksm(LL x,LL y)
{
    LL t = 1;x%=MOD;
    while (y)
    {
        if (y&1) t = (t*x)%MOD;
        x = (x*x)%MOD;y>>=1;
    }
    return t;
}

LL C(LL n,LL m)
{
    return fac[n]*rfac[n-m]%MOD*rfac[m]%MOD;
}

int main()
{
    //freopen("F:\\rush.txt","r",stdin);
    ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0);//scanf,puts,printf not use
    fac[0] = 1;
    rep1(i,1,N-1) fac[i] = (fac[i-1]*i)%MOD;
    rfac[N-1] = ksm(fac[N-1],MOD-2);
    rep2(i,N-2,0)
        rfac[i] = 1LL*rfac[i+1]*(i+1)%MOD;
    cin >> n;
    ex = 2*(n-1)%MOD;
    ex = (ex*ex)%MOD;
    ex = (ex*ksm(n,n-2))%MOD;
    pre[0] = 1;
    rep1(i,1,n-2)
        pre[i] = pre[i-1]*(n-1)%MOD;
    rep1(i,0,n-2)
    {
        LL x = 1LL*(i+1)*(i+1)%MOD;
        ans = ans+C(n-2,i)*pre[n-2-i]%MOD*x%MOD*n%MOD;
    }
    ans = (ans+MOD-ex*ksm(n,MOD-2)%MOD)%MOD;
    ans = ans*ksm(n,MOD-2)%MOD;
    cout << ans << endl;
    return 0;
}