POJ 3041 - 最大二分匹配

这道题实现起来还是比较简单的，但是理解起来可能有点困难。

我最开始想到的是贪心法，每次消灭当前小行星最多的一行或一列。然而WA了。Discuss区里已经有高人给出反例。

下面给出正确的解法

我们把行和列抽象成点，把小行星抽象成边，每出现一个小行星，就把其行列所对应的点连起来。这样就形成了一个无向图$G=\left(V, E\right)$。问题就转化为了求这个图G中的最小点覆盖，即求一个元素数量尽可能小的点集$V' \subset V$，$E$中的所有边均与其内的一点相连。

最小点覆盖问题是一个NP困难问题，目前没有已知的能够在多项式时间内解决该问题的算法。

不过我们可以这样考虑：

我们给出一个定义：设存在一个集合${V}_{1} \subset V, ~ {V}_{2} = V - {V}_{1}$。若$a \in {V}_{1}, ~ b \in {V}_{2}, ~ (a, b) \in E$，那么我们称这条边$(a, b)$为一个匹配。

若有两个点集${V}_{1} \subset V, ~ {V}_{2} = V - {V}_{1}$，两者并不相交。若有一种方案，使得${V}_{1}$和${V}_{2}$的所有匹配之间均没有重复的点，且${V}_{1}$内的所有点均拥有至少一个匹配。则当${V}_{1}$的元素数量最大时，${V}_{1}$就是这张图的最小点覆盖。

我们这里做一个简单的不严谨的证明，便于理解:

1. ${V}_{1}$的元素数量没有达到最大，意味着至少有一条边，它的两个端点都不在${V}_{1}$中。显然${V}_{1}$不是这张图的一个点覆盖，因为它不符合点覆盖的定义。
2. 假设${V}_{1}$是这张图的一个点覆盖。如果${V}_{1}$中存在一个点$v$，它在${V}_{2}$中没有满足上述条件的对应点。那么要么没有边与该点相连，要么与其相连的边的另一个端点全在${V}_{1}$内。不论如何，我们都可以把$v$从${V}_{1}$中去掉，其仍然是这张图的一个点覆盖。换句话说，此时的${V}_{1}$并不是最小点覆盖。
3. 假设${V}_{1}$是这张图的一个点覆盖。${V}_{2} = V - {V}_{1}$。

综上所述，若存在某一条边，其两个点均不在${V}_{1}$中，那么${V}_{1}$就不是这张图的点覆盖。若${V}_{1}$是此图的一个点覆盖，其中存在某个点，它在${V}_{2} = V - {V}_{1}$中没有边与其相连，那么${V}_{1}$不是该图的最小点覆盖。若没有一种方案，使得所有的匹配之间都没有重复的点，那么${V}_{1}$也不是该图的最小点覆盖。

图中的所有点要么在${V}_{1}$中，要么在${V}_{2} = V - {V}_{1}$中。我们每找到一条两点$(a, b)$均不在${V}_{1}$中的边，就将$a$从${V}_{2}$中移入${V}_{1}$，将这条边记作一个匹配。当然，如果有必要，我们也可以将$a$移回${v}_{2}$，再将$b$移进${V}_{1}$；或者将$a$和$b$都移回${V}_{2}$，删除这条匹配。若我们所找到的匹配没有达到最大数量，则意味着还存在有至少一条边，它的两个点均不在${V}_{1}$中。此时的${V}_{1}$并不是这张图的点覆盖。

并且，根据证明3，我们这里所找到的匹配，它们中任意两条之间不能拥有重复的点。

而当我们找到的符合条件的边（也就是匹配）的数量最大时，${V}_{1}$刚好变成了这张图的一个点覆盖，并且，它时这张图的最小点覆盖。

这时，找点的问题被转化成了找边的问题。

在这个具体的问题里，我们所找到的符合条件的边，其两端点必定一个代表行，一个代表列。也就是说，如果我们将$V$划分为代表行的点集${V}_{r}$和代表列的点集${V}_{c}$，则所有的匹配一定是跨越了这两个集合的。

这样，所有的边$(a, b)$不仅是${V}_{1}$、${V}_{2}$之间的匹配，也是${V}_{r}$和${V}_{c}$间的匹配。并且，我们这里所找到的所有的边，它们的点都不重复（否则就违反了刚才的证明3）。因此，找边的问题就变成了找二分匹配的问题。找到的边最大就变成了找到的二分匹配最大。

这个问题就被转化成了一个最大二分匹配问题。

最大二分匹配问题，可以用网络流的手段解决，也可以用匈牙利算法解决。匈牙利算法是一种专门用来解决二分匹配问题的算法，在这里就不具体解释了。不过这道题也是我第一次用这个算法解决问题，错了很多次。

 #include <cstddef>
 #include <cstdio>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <iostream>

 int n, k;

 bool dfs_visited[];
 int graph[][];
 int matches[];

 bool Hungarian_Aux(int vertex) {

     for(int i = ; i <= n; ++i) {
         if(!graph[vertex][i] || dfs_visited[i])
             continue;
         dfs_visited[i] = true;
         if(matches[i] ==  || Hungarian_Aux(matches[i])) {
             matches[i] = vertex;
             return true;
         }
     }

     return false;
 }

 int Hungarian_Algorithm() {
     int matches_count = ;
     for(int vertex = ; vertex <= n; ++vertex) {
         memset(dfs_visited + , , n * sizeof(bool));
         if(Hungarian_Aux(vertex)) {
             ++matches_count;
         }
     }

     return matches_count;
 }

 int main() {
     scanf("%d%d", &n, &k);
     int r, c;
     for(int i = ; i <= k; ++i) {
         scanf("%d%d", &r, &c);
         graph[r][c] = true;
     }
     printf("%d\n", Hungarian_Algorithm());

     return ;
 }