最短路--SPFA及其优化

SPFA Shortest Path Faster Algorithm 最短路径最快算法

算法思想

SPFA 算法是 Bellman-Ford算法 的队列优化算法的别称，通常用于求含负权边的单源最短路径，以及判负权环。SPFA 最坏情况下复杂度和朴素 Bellman-Ford 相同，为 O(VE)。

最简单的模板

#define pii pair<int,int>
vector<pii> a[maxn]; //邻接表,存图
int dis[maxn];       //距离

void spfa(int s)        //s源点
{
    mem(dis,inf); dis[s] = 0;
    queue<int> q;q.push(s);
    while (!q.empty())
    {
        s = q.front();q.pop();
        for(auto i : a[s])
        {
            if(dis[i.first] > dis[s]+i.second)
            {
                dis[i.first] = dis[s]+i.second;
                q.push(i.first);
            }
        }
    }
}

判断是否存在负环

int dis[maxn];
bool vis[maxn];

int out[maxn];          //出队次数

bool spfa(int s)
{
    mem(dis,inf);dis[s] = 0;
    queue<int> q;q.push(s);
    while(!q.empty())
    {
        s = q.front();q.pop();vis[s] = 0;
        out[s]++;if(out[s] >= n) return false;       //存在负环
        for(auto i : a[s])
        {
            if(dis[i.first] > dis[s]+i.second)
            {
                dis[i.first] = dis[s]+i.second;
                if(!vis[i.first])
                {
                    vis[i.first] = 1;
                    q.push(i.first);
                }
            }
        }
    }
    return true;        //不存在负环
}

SLF优化

SLF优化，即 Small Label First 策略，使用 双端队列 进行优化。也可以手写双端队列

一般可以优化15%~20%，在竞赛中比较常用。

设从 u 扩展出了 v ，队列中队首元素为 k ，若 dis[ v ] < dis[ k ] ，则将 v 插入队首，否则插入队尾。

注：队列为空时直接插入队尾。

#define pii pair<int,int>
vector<pii> a[maxn]; //邻接表,存图
int dis[maxn];       //距离
bool vis[maxn];      //标记,表示该点当前是否在队列中，在的话就不用进队了

void spfa_slf(int s)
{
    mem(dis,inf); dis[s] = 0;
    deque <int> q;      //正常队列新元素插入队尾,双端队列可以选择
    q.push_back(s);
    while(!q.empty())
    {
        s = q.front();          //队首
        q.pop_front();          //队首pop
        vis[s] = 0;
        for(auto i : a[s])
        {
            if(!vis[i.first] && dis[i.first] > dis[s]+i.second)
            {
                vis[i.first] = 1;
                dis[i.first] = dis[s]+i.second;
                if(!q.empty() && dis[q.front()] > dis[i.first]) q.push_front(i.first);  //插入队首
                else q.push_back(i.first);        //否则插入队尾
            }
        }
    }
}

LLL优化

LLL优化，即 Large Label Last 策略，使用 双端队列 进行优化。

一般用SLF+LLL可以优化50%左右，但是在竞赛中并不常用LLL优化。

设队首元素为 k ，每次松弛时进行判断，队列中所有 dis 值的平均值为 x 。

若 dist[ k ] > x ，则将 k 插入到队尾，查找下一元素，直到找到某一个 k 使得 dis[ k ] <= x ，则将 k 出队进行松弛操作。

void spfa_lll(int s)
{
    for(int i = 1;i <= n; i++) dis[i] = inf;
    dis[s] = 0;
    deque<int> q;
    q.push_back(s);
    ll x = 0; int num = 1; //x是队列元素的和,num是队列元素的个数
    while(!q.empty())
    {
        s = q.front();
        q.pop_front();
        num--; x -= dis[s];

        while (num && dis[s] > x/num)        //和slf的唯一区别
        {
            q.push_back(s);     //就把s放到队尾

            s = q.front();      //另取s
            q.pop_front();
        }

        vis[s] = 0;
        for(auto i : a[s])
        {
            if(!vis[i.first] && dis[i.first] > dis[s]+i.second)
            {
                dis[i.first] = dis[s]+i.second;
                vis[i.first] = 1;

                if(!q.empty() && dis[i.first] > dis[q.front()]) q.push_front(i.first);
                else q.push_back(i.first);

                num++,x += dis[i.first];
            }
        }
    }
}

swap优化

每当队列改变时，如果队首距离大于队尾，则交换首尾。

void spfa(int s)                //swap
{
    for(int i = 1;i <= n; i++) dis[i] = 1e18;
    dis[s] = 0;

    int l = 1e7,r = 1e7;    //l是队首,r是队尾
    q[l] = s;

    while(l <= r)
    {
        s = q[l]; l++;
        vis[s] = 0;         //标记出队

        for(auto i : a[s])
        {
            if(dis[i.first] > dis[s]+i.second)
            {
                dis[i.first] = dis[s]+i.second;
                if(!vis[i.first])  //没必要重复进队
                {
                    vis[i.first] = 1;
                    q[--l] = i.first;
                    if(l < r && dis[q[l]] > dis[q[r]]) swap(q[l],q[r]);
                }
            }
        }
    }
}

例题

参考博客

百度百科

https://www.cnblogs.com/Yangrui-Blog/p/8997721.html

https://www.cnblogs.com/dilthey/p/9583728.html