简记乘法逆元（费马小定理+扩展Euclid）

乘法逆元

什么是乘法逆元？

若整数 \(b,m\) 互质，并且\(b|a\) ，则存在一个整数\(x\) ，使得 \(\frac{a}{b}\equiv ax\mod m\) 。

称\(x\) 是\(b\) 模\(m\) 的乘法逆元，记作\(b^{-1} \mod m\) 。

• 而\(a/b\equiv a*b^{-1}\equiv a/b*b*b^{-1} \mod m\)
• 其实就是\(b*b^{-1} \equiv 1\mod m\)

其实就是模意义下除法变乘法。

怎么求乘法逆元？(费马小定理)

• 费马小定理：如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有\(a^{p-1}≡1\mod p\)
• 也就是说\(a*a^{p-2}≡1\mod p\)
• 也就是说\(p\) 是素数的时候，其乘法逆元是\(a^{p-2}\)

int qpow(int a, int b, int p){
    int ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans=ans*a%p;
        b>>=1;
        a=a*a%p;
    }
    return ans;
}
int inv(int a, int p){
    return qpow(a,p-2,p);
}

• 那\(p\) 不是素数呢？——扩展欧几里得算法

扩展Euclid求逆元

• 求解\(ax\equiv1\mod m\)
• 即\(ax-my=1\)
• 这个\(x\) 就是\(a \mod m\) 的逆元
• 用扩欧求\(x\) 的话，这个\(y\) 的正负对\(x\) 无影响。

//ax+by=gcd(a,b)
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b==0){
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int d=exgcd(b,a%b,x,y);
    int z=x;
    x=y;
    y=z-a/b*y;
    return d;
}
//inv(a)
int inv(int a,int p){
    int x,y;
    int d=exgcd(a,p,x,y);
    return d==1?(x%p+p)%p:-1;
}