[题解] LuoguP4609 [FJOI2016]建筑师

传送门

首先对于高度为\(n\)的建筑，他的左边有\(A-1\)个建筑能被看到，右边有\(B-1\)个建筑能被看到，这两者类似，所以先来看左边。

一个建筑将会遮挡住它后面的高度比它矮的建筑，直到一个高度比他高的出现，所以我们不妨按这样分段看一下，例如下面这个排列

3 2 4 1 5 7 6

分段后会变成

[3 2][4 1][5][7 6]

我们要求的就是高度为\(n\)的建筑左边有\(A-1\)段，右边有\(B-1\)段的方案数。

不难想到讲每一段看成一个圆排列，然后讲最大的一个元素作为排列的第一个，然后从左到右形成一段。

例如这个圆排列\((1,5,3)\)，将\(5\)提到第一个后会变成\([5,3,1]\)，这样就对应了上面说的一段。

那么我们只要把\(1...n-1\)这\(n-1\)个数安排到\(A+B-2\)个圆排列里，然后在\(n\)的左边放\(A-1\)个圆排列，其中这\(A-1\)个 圆排列按排列中的最大数做关键字从小到大放就好了，右边\(B-1\)个排列按从大到小放。

这样答案就是\(s(n-1,A+B-2) \times C(A+B-2,A-1)\)

其中\(C(n,r)\)表示组合数，\(s(n,k)\)表示第一类Stirling数，预处理出第一类斯特林数和组合数，\(O(1)\)的回答就好了

\(Code:\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=50010,P=1e9+7;
inline int add(int x,int y){return (x+=y)>=P?x-P:x;}
inline int sub(int x,int y){return (x-=y)<0?x+P:x;}
int s[N][310],C[310][310];
int main()
{
    s[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=50000;i++)
        for(int j=1;j<=min(i,200);j++)
            s[i][j]=add(1ll*s[i-1][j]*(i-1)%P,s[i-1][j-1]);
    C[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=200;i++)
    {
        C[i][0]=C[i][i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
            C[i][j]=add(C[i-1][j],C[i-1][j-1]);
    }
    int _;scanf("%d",&_);while(_--)
    {
        int n,A,B; scanf("%d%d%d",&n,&A,&B);
        printf("%d\n",1ll*s[n-1][A+B-2]*C[A+B-2][A-1]%P);
    }
    return 0;
}