H.264 Transform

变换是视频、图像编码的核心部分。目前所采用的变换算法都是从傅里叶变换演变而来。单纯的变换并不会导致视频（图像）的码率变小，反而会增大。但是非常巧妙的一点是：变换把图像从空域转换成的时域，把由色块组成的图像变为由基准色调与图像细节组成；低频代表图片的基准色调，高频代表图像细节，类比电路中的基频与谐波。变换会使得图像的低频系数集中于某一点（左上角），频率向右下角递增。一般来说，4x4大小的图像大多只是颜色平缓的色块，不会有太多的细节，因此低频系数会较大，而高频系数较小。另外，人的眼睛对于高频系数，即图像细节，并不会特别敏感。因此，通过量化可以去掉很大一部分小的高频系数。

Discrete Cosine Transform

目前视频编码中采用的变换算法是离散余项变换。根据DCT变换的定义，其变换公式可以写成：

$Y=AXA^T$

A是正交矩阵，满足$A^TA=I$.

在4x4的DCT变换中：

$ A=\begin{bmatrix}
\frac{1}{2}cos(0) & \frac{1}{2}cos(0) & \frac{1}{2}cos(0) & \frac{1}{2}cos(0)\\
\sqrt{\frac{1}{2}}cos(\frac{\pi}{8}) & \sqrt{\frac{1}{2}}cos(\frac{3\pi}{8}) & \sqrt{\frac{1}{2}}cos(\frac{5\pi}{8}) & \sqrt{\frac{1}{2}}cos(\frac{7\pi}{8})\\
\sqrt{\frac{1}{2}}cos(\frac{2\pi}{8}) & \sqrt{\frac{1}{2}}cos(\frac{6\pi}{8}) & \sqrt{\frac{1}{2}}cos(\frac{10\pi}{8}) & \sqrt{\frac{1}{2}}cos(\frac{14\pi}{8})\\
\sqrt{\frac{1}{2}}cos(\frac{3\pi}{8}) & \sqrt{\frac{1}{2}}cos(\frac{9\pi}{8}) & \sqrt{\frac{1}{2}}cos(\frac{15\pi}{8}) & \sqrt{\frac{1}{2}}cos(\frac{21\pi}{8})
\end{bmatrix}$

设$a = \frac{1}{2}$，$b = \sqrt{\frac{1}{2}}cos(\frac{\pi}{8})$，$c = \sqrt{\frac{1}{2}}cos(\frac{3\pi}{8})$，并由余弦函数的周期性和对称性可得：

$Y=AXA^T=\begin{bmatrix}
a & a & a & a\\
b & c & -c & b\\
a & -a & -a & a\\
c & -b & b & -c
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x_{00} & x_{01} & x_{02} & x_{03}\\
x_{10} & x_{11} & x_{12} & x_{13}\\
x_{20} & x_{21} & x_{22} & x_{23}\\
x_{30} & x_{31} & x_{32} & x_33
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
a & b & a & c\\
a & c & -a & -b\\
a & -c & -a & b\\
a & -b & a & -c
\end{bmatrix}$

其逆变换（IDCT）的公式为：

$X=A^TYA$

容易验证，A可以分解成：

$A=BC=\begin{bmatrix}
a & 0 & 0 & 0\\
0 & b & 0 & 0\\
0 & 0 & a & 0\\
0 & 0 & 0 & b
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & d & -d & -1\\
1 & -1 & -1 & 1\\
d & -1 & 1 & -d
\end{bmatrix}$

其中$d = c/b$，B为对角矩阵。将上式带入变换表达式，可得：

$Y=BCXC^TB=
\begin{bmatrix}
a & 0 & 0 & 0\\
0 & b & 0 & 0\\
0 & 0 & a & 0\\
0 & 0 & 0 & b
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & d & -d & -1\\
1 & -1 & -1 & 1\\
d & -1 & 1 & -d
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{00} & x_{01} & x_{02} & x_{03}\\
x_{10} & x_{11} & x_{12} & x_{13}\\
x_{20} & x_{21} & x_{22} & x_{23}\\
x_{30} & x_{31} & x_{32} & x_33
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & d\\
1 & d & -1 & -1\\
1 & -d & -1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -d
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a & 0 & 0 & 0\\
0 & b & 0 & 0\\
0 & 0 & a & 0\\
0 & 0 & 0 & b
\end{bmatrix}$

因为B为对角矩阵，容易证明上式可写成：

$Y=BCXC^TB=
\begin{Bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & d & -d & -1\\
1 & -1 & -1 & 1\\
d & -1 & 1 & -d
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{00} & x_{01} & x_{02} & x_{03}\\
x_{10} & x_{11} & x_{12} & x_{13}\\
x_{20} & x_{21} & x_{22} & x_{23}\\
x_{30} & x_{31} & x_{32} & x_33
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & d\\
1 & d & -1 & -1\\
1 & -d & -1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -d
\end{bmatrix}
\end{Bmatrix}
\bigotimes
\begin{bmatrix}
a^2 & ab & a^2 & ab\\
ab & b^2 & ab & b^2\\
a^2 & ab & a^2 & ab\\
ab & b^2 & ab & b^2
\end{bmatrix}$

其中运算符$\bigotimes$代表点乘，即$CXC^T$结果中的每个元素乘以矩阵$E$中对应位置上的对应元素。这里A中的a,b和c都是实数，变换的运算都在实数域中进行。其中$d=0.414213…$。考虑到计算机中，实数计算的复杂度，精确度的问题，同时因为在计算机中图像的像素值都是用整数表示，可对DCT进行改造，在牺牲一小部分压缩率的情况下，将变换改造成整数域中的运算。

1. 把$\bigotimes$后的部分合并到量化步骤中去，这里就只剩下d会对变换造成影响。
2. 选择一个接近0.414213的分数，可能的选择有7/16,3/8,1/2。标准选择d=1/2。这样可以避免在用像素值进行转换计算时出现截断误差。（一般来说在出现了小数的乘法运算时，为了效率，都会采用先执行整数乘法后执行右移来代替浮点乘法算法，而由于整数乘数一般都不是$2^n$，因此会由于右移而导致运算结果被截断，这就是截断误差，这个误差是不可逆的。我们这里采用d=1/2可以直接通过右移得到精确的结果，而避免了出现截断误差。另外，我们看到$\bigotimes$后的矩阵是包含非整数运算的，由于下面计算得到的$b = \sqrt{2/5}$，这个小数肯定会带来截断误差，也就是说合并到量化步骤中的部分一定会包含截断误差，就算我们在量化时采用的量化步长为1，也会由于截断误差导致在进行逆变换后得到的残差矩阵与原残差矩阵有一点偏差）
3. 为了保证选择$d=1/2$后变换可逆，需要保持$A$的正交性，$A^TA=I$成立。我们保持$a=1/2$，可以解得

$b=\sqrt{\frac{1}{2(1+d^2)}}=\sqrt{2/5}$

这样，得到修改后的变换公式：

$Y=
\begin{Bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -1\\
1 & -1 & -1 & 1\\
\frac{1}{2} & -1 & 1 & -\frac{1}{2}
\end{bmatrix}
X
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & \frac{1}{2}\\
1 & \frac{1}{2} & -1 & -1\\
1 & -\frac{1}{2} & -1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -\frac{1}{2}
\end{bmatrix}
\end{Bmatrix}
\bigotimes
\begin{bmatrix}
a^2 & ab & a^2 & ab\\
ab & b^2 & ab & b^2\\
a^2 & ab & a^2 & ab\\
ab & b^2 & ab & b^2
\end{bmatrix}$

上式中还有个问题，就是乘以1/2的运算还不是在整数域中，这样会产生截断误差。因此，将1/2提到矩阵外面，并与右边的点乘合并。

$Y=
\begin{Bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
2 & 1 & -1 & -2\\
1 & -1 & -1 & 1\\
1 & -2 & 2 & -1
\end{bmatrix}
X
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 1\\
1 & 1 & -1 & -2\\
1 & -1 & -1 & 2\\
1 & -2 & 1 & -1
\end{bmatrix}
\end{Bmatrix}
\bigotimes
\begin{bmatrix}
a^2 & \frac{ab}{2} & a^2 & \frac{ab}{2}\\
\frac{ab}{2} & \frac{b^2}{4} & \frac{ab}{2} & \frac{b^2}{4}\\
a^2 & \frac{ab}{2} & a^2 & ab\\
\frac{ab}{2} & \frac{b^2}{4} & \frac{ab}{2} & \frac{b^2}{4}
\end{bmatrix}$

这样就得到了H.264中所用到的整数变换公式，注意到所有的运算都在整数域中进行。其变换核$C_fXC_f^T$仅用加减法和左移即可实现，无需任何乘法（在硬件处理时，无需乘法器）。后面的$\bigotimes$运算也可以方便地合并到后面的量化过程中去。

整数DCT蝶形算法

以上的整数DCT运算中三个矩阵$C,X,C^T$都是4x4的二维矩阵，可以按照以下方法分解成一维计算：

$CXC^T=(CX)C^T \qquad \qquad= 
\begin{pmatrix}C\begin{bmatrix}
x_{00} & x_{01} & x_{02} & x_{03}\\
x_{10} & x_{11} & x_{12} & x_{13}\\
x_{20} & x_{21} & x_{22} & x_{23}\\
x_{30} & x_{31} & x_{32} & x_{33}
\end{bmatrix}
\end{pmatrix}
C^T$
$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad=\begin{bmatrix}
C\begin{bmatrix}
x_{00} \\
x_{10} \\
x_{20} \\
x_{30}
\end{bmatrix}
,C\begin{bmatrix}
x_{01} \\
x_{11} \\
x_{21} \\
x_{31}
\end{bmatrix}
,C\begin{bmatrix}
x_{02} \\
x_{12} \\
x_{22} \\
x_{32}
\end{bmatrix}
,C\begin{bmatrix}
x_{03} \\
x_{13} \\
x_{23} \\
x_{33}
\end{bmatrix}
\end{bmatrix}
C^T$
$ \qquad \qquad \qquad \qquad \quad=\begin{bmatrix}
y_{00} & y_{01} & y_{02} & y_{03}\\
y_{10} & y_{11} & y_{12} & y_{13}\\
y_{20} & y_{21} & y_{22} & y_{23}\\
y_{30} & y_{31} & y_{32} & y_{33}
\end{bmatrix}C^T$
$ =MC^T$
$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad=\begin{bmatrix}
\begin{bmatrix} y_{00} & y_{01} & y_{02} & y_{03} \end{bmatrix} &C^T \\
\begin{bmatrix} y_{10} & y_{11} & y_{12} & y_{13} \end{bmatrix} &C^T \\
\begin{bmatrix} y_{20} & y_{21} & y_{22} & y_{23} \end{bmatrix} &C^T \\
\begin{bmatrix} y_{30} & y_{31} & y_{32} & y_{33} \end{bmatrix} &C^T
\end{bmatrix}$

为了减少运算，其每一步一维运算都可以采用蝶形算法，减少重复计算量。以4x4DCT的第一步对X的第一列进行一维变换为例，其运算过程可用下式表示：

\begin{align*}
&y_{00} = x_{00} + x_{10} + x_{20} + x_{30} \\
&y_{10} = 2x_{00} + x_{10} - x_{20} - 2x_{30} \\
&y_{20} = x_{00} - x_{10} - x_{20} + x_{30} \\
&y_{30} = x_{00} - 2x_{10} + 2x_{20} - x_{30}
\end{align*}

其中有12次加法，4次左移。其蝶形算法如下所示：

\begin{align*}
&m_0 = x_{00} + x_{30} \\
&m_3 = x_{00} – x_{30} \\
&m_1 = x_{10} + x_{20} \\
&m_2 = x_{10} – x_{20} \\
&y_{00} = m_0 + m_1 \\
&y_{20} = m_0 – m_1 \\
&y_{10} = m_2 + (m_3<<1) \\
&y_{30} = m_3 – (m_2<<1)
\end{align*}

其中有8次加法，2次左移。

IDCT蝶形算法如下所示（对矩阵第一列进行一维变换）：

\begin{align*}
&m_0 = y_0 + y_2 \\
&m_1 = y_0 – y_2 \\
&m_2 = (y_1>>1) – y_3 \\
&m_3 = y_1 + (y_3 >> 1) \\
&x_0 = m_0 + m_3 \\
&x_3 = m_0 – m_3 \\
&x_1 = m_1 + m_2 \\
&x_2 = m_1 – m_2
\end{align*}

Hadamard Transform

哈达玛变换在h.264中是专门用于转换直流系数的，这是一个可选的变换。变化平缓的画面采用这种变换方式相对于DCT来说可以减少计算步骤。

4x4哈达玛变换如下所示（主要用于亮度直流系数）：

$Y^{D4} = \begin{Bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -1
\end{bmatrix} & X^{D4} & \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -1
\end{bmatrix}
\end{Bmatrix}\frac{1}{2}$

4x4哈达玛逆变换如下所示:

$X^{D4} = \begin{Bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -1
\end{bmatrix} & Y^{D4} & \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1 & 1\\
1 & -1 & 1 & -1
\end{bmatrix}
\end{Bmatrix}\frac{1}{2}$

2x2哈达玛变换如下所示（主要用于色度直流系数）:

$Y^{D2} = \begin{bmatrix}
1 & 1\\
1 & -1
\end{bmatrix}X^{D2}\begin{bmatrix}
1 & 1\\
1 & -1
\end{bmatrix}$

2x2哈达玛逆变换如下所示：

$X^{D2} = \begin{bmatrix}
1 & 1\\
1 & -1
\end{bmatrix}Y^{D2}\begin{bmatrix}
1 & 1\\
1 & -1
\end{bmatrix}$

可见哈达玛变换的正逆变换是完全一致的，用的是同一矩阵

4x4哈达吗变换蝶形算法如下所示（对矩阵第一列进行一维变换）：

\begin{align*}
&m_0 = x_0 + x_3 \\
&m_1 = x_1 + x_2 \\
&m_2 = x_1 – x_2 \\
&m_3 = x_0 – x_3 \\
&y_0 = m_0 + m_1 \\
&y_2 = m_0 – m_1 \\
&y_1 = m_2 + m_3 \\
&y_3 = m_3 – m_2
\end{align*}

8x8 DCT

矩阵如下：

蝶形算法（以下为仅对第一列进行矩阵运算）：

\begin{align*}
&a[0] = in[0] + in[7]; \\
&a[1] = in[1] + in[6]; \\
&a[2] = in[2] + in[5]; \\
&a[3] = in[3] + in[4];
\end{align*}

\begin{align*}
&b[0] = a[0] + a[3]; \\
&b[1] = a[1] + a[2]; \\
&b[2] = a[0] - a[3]; \\
&b[3] = a[1] - a[2];
\end{align*}

\begin{align*}
&a[4] = in[0] - in[7]; \\
&a[5] = in[1] - in[6]; \\
&a[6] = in[2] - in[5]; \\
&a[7] = in[3] - in[4];
\end{align*}

\begin{align*}
&b[4]= a[5] + a[6] + ((a[4]>>1) + a[4]); \\
&b[5]= a[4] - a[7] - ((a[6]>>1) + a[6]); \\
&b[6]= a[4] + a[7] - ((a[5]>>1) + a[5]); \\
&b[7]= a[5] - a[6] + ((a[7]>>1) + a[7]);
\end{align*}

\begin{align*}
&out[0] = b[0] + b[1]; \\
&out[2] = b[2] + (b[3]>>1); \\
&out[4] = b[0] - b[1]; \\
&out[6] = (b[2]>>1) - b[3]; \\
&out[1] = b[4] + (b[7]>>2); \\
&out[3] = b[5] + (b[6]>>2); \\
&out[5] = b[6] - (b[5]>>2); \\
&out[7] = - b[7] + (b[4]>>2);
\end{align*}

8x8逆运算蝶形算法：

\begin{align*}
&a[0] = in[0] + in[4]; \\
&a[4] = in[0] - in[4]; \\
&a[2] = (in[2]>>1) - in[6]; \\
&a[6] = in[2] + (in[6]>>1);
\end{align*}

\begin{align*}
&b[0] = a[0] + a[6]; \\
&b[2] = a[4] + a[2]; \\
&b[4] = a[4] - a[2]; \\
&b[6] = a[0] - a[6];
\end{align*}

\begin{align*}
&a[1] = -in[3] + in[5] - in[7] - (in[7]>>1); \\
&a[3] = in[1] + in[7] - in[3] - (in[3]>>1); \\
&a[5] = -in[1] + in[7] + in[5] + (in[5]>>1); \\
&a[7] = in[3] + in[5] + in[1] + (in[1]>>1);
\end{align*}

\begin{align*}
&b[1] = a[1] + (a[7]>>2); \\
&b[7] = -(a[1]>>2) + a[7]; \\
&b[3] = a[3] + (a[5]>>2); \\
&b[5] = (a[3]>>2) - a[5];
\end{align*}

\begin{align*}
&out[0] = b[0] + b[7]; \\
&out[1] = b[2] + b[5]; \\
&out[2] = b[4] + b[3]; \\
&out[3] = b[6] + b[1]; \\
&out[4] = b[6] - b[1]; \\
&out[5] = b[4] - b[3]; \\
&out[6] = b[2] - b[5]; \\
&out[7] = b[0] - b[7];
\end{align*}