洛谷P4238【模板】多项式求逆

洛谷P4238

多项式求逆：http://blog.miskcoo.com/2015/05/polynomial-inverse

注意：直接在点值表达下做$B(x) \equiv 2B'(x) - A(x)B'^2(x) \pmod {x^n}$是可以的，但是一定要注意，这一步中有一个长度为n的和两个长度为(n/2)的多项式相乘，因此要在DFT前就扩展FFT点值表达的“长度”到2n，否则会出错（调了1.5个小时）

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版本1：

 #prag\
 ma GCC optimize()
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<vector>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 #define fi first
 #define se second
 #define mp make_pair
 #define pb push_back
 typedef long long ll;
 typedef unsigned long long ull;
 const int md=;
 const int N=;
 int rev[N];
 void init(int len)
 {
     int bit=,i;
     while((<<(bit+))<=len)    ++bit;
     for(i=;i<len;++i)
         rev[i]=(rev[i>>]>>)|((i&)<<(bit-));
 }
 ll poww(ll a,ll b)
 {
     ll base=a,ans=;
     for(;b;b>>=,base=base*base%md)
         if(b&)
             ans=ans*base%md;
     return ans;
 }
 void dft(int *a,int len,int idx)//要求len为2的幂
 {
     int i,j,k,t1,t2;ll wn,wnk;
     for(i=;i<len;++i)
         if(i<rev[i])
             swap(a[i],a[rev[i]]);
     for(i=;i<len;i<<=)
     {
         wn=poww(idx==?:,(md-)/(i<<));
         for(j=;j<len;j+=(i<<))
         {
             wnk=;
             for(k=j;k<j+i;++k,wnk=wnk*wn%md)
             {
                 t1=a[k];t2=a[k+i]*wnk%md;
                 a[k]+=t2;
                 (a[k]>=md) && (a[k]-=md);
                 a[k+i]=t1-t2;
                 (a[k+i]<) && (a[k+i]+=md);
             }
         }
     }
     if(idx==-)
     {
         ll ilen=poww(len,md-);
         for(i=;i<len;++i)
             a[i]=a[i]*ilen%md;
     }
 }
 int f[N],g[N],t1[N];
 int n,n1;
 void p_inv(int *f,int *g,int len)//g=f^(-1);f,g数组的长度不小于2^(ceil(log2(len))+1)(需要足够长用于临时存放元素)
 {
     g[]=poww(f[],md-);
     for(int i=,j;i<(len<<);i<<=)
     {
         init(i<<);
         memcpy(t1,f,sizeof(int)*i);
         memset(t1+i,,sizeof(int)*i);
         memset(g+(i>>),,sizeof(int)*(i+(i>>)));
         dft(t1,i<<,);dft(g,i<<,);
         for(j=;j<(i<<);++j)
             g[j]=ll(g[j])*(+ll(md-g[j])*t1[j]%md)%md;
         dft(g,i<<,-);
     }
 }
 int main()
 {
     int i,t;
     scanf("%d",&n);n1=n;
     for(i=;i<n;++i)
         scanf("%d",g+i);
     for(t=;t<n;t<<=);
     n=t;
     p_inv(g,f,n);
     for(i=;i<n1;++i)
         printf("%d ",f[i]);
     return ;
 }

资料：https://www.luogu.org/blog/user7035/duo-xiang-shi-zong-jie

里面有一个迷之优化（代码好像和文字表述的不一样，很玄学，看不懂，被坑了...）

牛顿迭代得到式子：$B(x) \equiv B'(x)-B'(x)(A(x)B'(x)-1) \pmod {x^n}$，其中B'(x)是上一次迭代的结果，B(x)是这一次的结果，A(x)是原多项式，n是这一次迭代得到的结果长度（设它是2的幂）；设上一次迭代得到的结果长度为m=n/2

看右边的$A(x)B'(x)-1$，可以知道它第0到m-1项都是0，现在只需要求它与B'(x)的乘积的前n位，可以把它”左移“m位，这样它和B'(x)长度都只有m，因此只需要做长度为n（而不是2n）的NTT，然后再”右移”回去

如果与B'(x)相乘时不做长度为2n的NTT而做长度为n的NTT，那么可以发现结果刚好相当于正常结果（做长度为2n的NTT的结果取前n位）将前一半和后一半交换（未验证）

（可以直接用算A(x)B'(x)时求出的B'(x)的DFT）（当然这样NTT次数从3次变成了5次...）

版本2：（实测的确比版本1快）（另外把longlong都改成了unsignedlonglong）

 #prag\
 ma GCC optimize()
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<vector>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 #define fi first
 #define se second
 #define mp make_pair
 #define pb push_back
 typedef long long ll;
 typedef unsigned long long ull;
 const int md=;
 const int N=;
 #define delto(a,b) ((a)-=(b),((a)<0)&&((a)+=md))
 int rev[N];
 void init(int len)
 {
     int bit=,i;
     while((<<(bit+))<=len)    ++bit;
     for(i=;i<len;++i)
         rev[i]=(rev[i>>]>>)|((i&)<<(bit-));
 }
 ull poww(ull a,ull b)
 {
     ull base=a,ans=;
     for(;b;b>>=,base=base*base%md)
         if(b&)
             ans=ans*base%md;
     return ans;
 }
 void dft(int *a,int len,int idx)//要求len为2的幂
 {
     int i,j,k,t1,t2;ull wn,wnk;
     for(i=;i<len;++i)
         if(i<rev[i])
             swap(a[i],a[rev[i]]);
     for(i=;i<len;i<<=)
     {
         wn=poww(idx==?:,(md-)/(i<<));
         for(j=;j<len;j+=(i<<))
         {
             wnk=;
             for(k=j;k<j+i;++k,wnk=wnk*wn%md)
             {
                 t1=a[k];t2=a[k+i]*wnk%md;
                 a[k]+=t2;
                 (a[k]>=md) && (a[k]-=md);
                 a[k+i]=t1-t2;
                 (a[k+i]<) && (a[k+i]+=md);
             }
         }
     }
     if(idx==-)
     {
         ull ilen=poww(len,md-);
         for(i=;i<len;++i)
             a[i]=a[i]*ilen%md;
     }
 }
 int t1[N],t2[N];
 void p_inv(int *f,int *g,int len)//g=f^(-1);f,g数组的长度不小于2^(ceil(log2(len))+1)(需要足够长用于临时存放元素) ;要求len是2的幂
 {
     g[]=poww(f[],md-);
     for(int i=,j;i<(len<<);i<<=)
     {
         memcpy(t1,f,sizeof(int)*i);
         memcpy(t2,g,sizeof(int)*(i>>));
         memset(t2+(i>>),,sizeof(int)*(i>>));
         init(i);
         dft(t1,i,);dft(t2,i,);
         for(j=;j<i;++j)
             t1[j]=ull(t1[j])*t2[j]%md;
         dft(t1,i,-);
         for(j=;j<(i>>);++j)
             t1[j]=t1[j+(i>>)];
         memset(t1+(i>>),,sizeof(int)*(i>>));
         dft(t1,i,);
         for(j=;j<i;++j)
             t1[j]=ull(t1[j])*t2[j]%md;
         dft(t1,i,-);
         for(j=i>>;j<i;++j)
             delto(g[j],t1[j-(i>>)]);
     }
 }
 int f[N],g[N];
 int n,n1;
 int main()
 {
     int i,t;
     scanf("%d",&n);n1=n;
     for(i=;i<n;++i)
         scanf("%d",g+i);
     for(t=;t<n;t<<=);
     n=t;
     p_inv(g,f,n);
     for(i=;i<n1;++i)
         printf("%d ",f[i]);
     return ;
 }

版本3：基于此题版本2，改了疑似bug

 #prag\
 ma GCC optimize()
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<vector>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 #define fi first
 #define se second
 #define mp make_pair
 #define pb push_back
 typedef long long ll;
 typedef unsigned long long ull;
 const int md=;
 const int N=;
 #define delto(a,b) ((a)-=(b),((a)<0)&&((a)+=md))
 int rev[N];
 void init(int len)
 {
     int bit=,i;
     while((<<(bit+))<=len)    ++bit;
     for(i=;i<len;++i)
         rev[i]=(rev[i>>]>>)|((i&)<<(bit-));
 }
 ull poww(ull a,ull b)
 {
     ull base=a,ans=;
     for(;b;b>>=,base=base*base%md)
         if(b&)
             ans=ans*base%md;
     return ans;
 }
 void dft(int *a,int len,int idx)//要求len为2的幂
 {
     int i,j,k,t1,t2;ull wn,wnk;
     for(i=;i<len;++i)
         if(i<rev[i])
             swap(a[i],a[rev[i]]);
     for(i=;i<len;i<<=)
     {
         wn=poww(idx==?:,(md-)/(i<<));
         for(j=;j<len;j+=(i<<))
         {
             wnk=;
             for(k=j;k<j+i;++k,wnk=wnk*wn%md)
             {
                 t1=a[k];t2=a[k+i]*wnk%md;
                 a[k]+=t2;
                 (a[k]>=md) && (a[k]-=md);
                 a[k+i]=t1-t2;
                 (a[k+i]<) && (a[k+i]+=md);
             }
         }
     }
     if(idx==-)
     {
         ull ilen=poww(len,md-);
         for(i=;i<len;++i)
             a[i]=a[i]*ilen%md;
     }
 }
 int t1[N],t2[N];
 void p_inv(int *f,int *g,int len)//g=f^(-1);f,g数组的长度不小于2len(需要足够长用于临时存放元素) ;要求len是2的幂
 {
     g[]=poww(f[],md-);
     for(int i=,j;i<(len<<);i<<=)
     {
         memcpy(t1,f,sizeof(int)*i);
         memcpy(t2,g,sizeof(int)*(i>>));
         memset(t2+(i>>),,sizeof(int)*(i>>));
         init(i);
         dft(t1,i,);dft(t2,i,);
         for(j=;j<i;++j)
             t1[j]=ull(t1[j])*t2[j]%md;
         dft(t1,i,-);
         for(j=;j<(i>>);++j)
             t1[j]=t1[j+(i>>)];
         memset(t1+(i>>),,sizeof(int)*(i>>));
         dft(t1,i,);
         for(j=;j<i;++j)
             t1[j]=ull(t1[j])*t2[j]%md;
         dft(t1,i,-);
         for(j=i>>;j<i;++j)
             g[j]=md-t1[j-(i>>)];
     }
 }
 int f[N],g[N];
 int n,n1;
 int main()
 {
     int i,t;
     scanf("%d",&n);n1=n;
     for(i=;i<n;++i)
         scanf("%d",g+i);
     for(t=;t<n;t<<=);
     n=t;
     p_inv(g,f,n);
     for(i=;i<n1;++i)
         printf("%d ",f[i]);
     return ;
 }