[TJOI2018] Xor 异或 (可持久化Trie,树链剖分)

题目描述

现在有一颗以 1 为根节点的由 n 个节点组成的树，树上每个节点上都有一个权值 \(v_i\)。现在有 Q 次操作，操作如下：

• 1 x y ：查询节点 x 的子树中与 y 异或结果的最大值。
• 2 x y z ：查询路径 x到 y 上点与 z 异或结果最大值
  
  
  

输入格式

第一行是两个数字 n , Q 。

第二行是 n 个数字用空格隔开，第 i 个数字 \(v_i\) 表示点 i 上的权值。

接下来 n−1 行，每行两个数， x,y ，表示节点 x 与 y 之间有边。

接下来 Q 行，每一行为一个查询，格式如上所述。

输出格式

对于每一个查询，输出一行，表示满足条件的最大值。

样例

样例输入

7 5
1 3 5 7 9 2 4
1 2
1 3
2 4
2 5
3 6
3 7
1 3 5
2 4 6 3
1 5 5
2 5 7 2
1 1 9

样例输出

7
6
12
11
14

#### 数据范围与提示

对于 10% 的数据，有 1≤n,Q≤100 。

对于 20% 的数据，有 1≤n,Q≤1000。

对于 40% 的数据，有 1≤n,Q≤10000。

对于 100% 的数据，有 1≤n,Q≤100000。

查询 1 中的 y≤ \(2^{30}\)，查询中的 z≤ \(2^{30}\)。

Solution

这道题,就是一道可持久化Trie树。

关于可持久化Trie树,其实也很简单,有以下前置技能:

• 主席树
• 01 \(Trie\)树

1.储存

使用主席树的储存结构来储存01 \(Trie\) 树。

建立 \(n\) 个虚点作为根,然后记录每个点的左儿子右儿子以及计数。

2.查询

关于查询,其实和带修改的 \(Trie\) 树 差不多,当且仅当已经构建的新树中该节点的 \(num\) 值大于0,我们才可以继续下去查询.最后输出最大值即可。

然后最后面套个剖分即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=200008;
ll c[maxn],cc[maxn];
int son[maxn],n,q;
int top[maxn],siz[maxn];
int dep[maxn],fa[maxn];

struct sj{
    int to;
    int next;
}a[maxn];
int size,head[maxn];

void add(int x,int y)
{
    a[++size].to=y;
    a[size].next=head[x];
    head[x]=size;
}

ll ch[maxn*40][2];
ll tot,T[maxn];
ll num[maxn*40];

int insert(int pre,ll x,int v)
{
    int u=++tot;
    ll c=((x>>v)&1);
    ch[u][0]=ch[pre][0];
    ch[u][1]=ch[pre][1];
    num[u]=num[pre]+1;
    if(v>=0)
    ch[u][c]=insert(ch[pre][c],x,v-1);
    return u;
}

ll ans,now[2];
int query(int l,int r,ll x,int v)
{
    ll c=((x>>v)&1);
    now[0]=num[ch[r][0]]-num[ch[l][0]];
    now[1]=num[ch[r][1]]-num[ch[l][1]];
    if(now[c^1])
    {
        ans+=(1<<v);
        if(v>=0)
        query(ch[l][c^1],ch[r][c^1],x,v-1);
    }
    else
    if(v>=0)
    query(ch[l][c],ch[r][c],x,v-1);
}

void dfs(int x)
{
    siz[x]=1;
    for(int i=head[x];i;i=a[i].next)
    {
        int tt=a[i].to;
        if(!siz[tt])
        {
            dep[tt]=dep[x]+1;
            fa[tt]=x;
            dfs(tt);
            siz[x]+=siz[tt];
            if(siz[tt]>siz[son[x]])
            son[x]=tt;
        }
    }
}

int id[maxn],dum;
void dfs1(int x,int y)
{
    top[x]=y;
    id[x]=++dum;
    c[dum]=cc[x];
    if(son[x])
    dfs1(son[x],y);
    for(int i=head[x];i;i=a[i].next)
    {
        int tt=a[i].to;
        if(!top[tt])
        if(tt!=son[x])
            dfs1(tt,tt);
    }
}

int check(int x,int y,int w)
{
    ll rest=0;
    while(top[x]!=top[y])
    {
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]])
        swap(x,y);
        ans=0;
        query(T[id[top[x]]-1],T[id[x]],w,32);
        rest=max(ans,rest);
        x=fa[top[x]];
    }
    if(id[x]>id[y])
    swap(x,y);
    ans=0;
    query(T[id[x]-1],T[id[y]],w,32);
    rest=max(rest,ans);
    return rest;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    scanf("%lld",&cc[i]);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y);
        add(y,x);
    }
    dfs(1); dfs1(1,1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    T[i]=insert(T[i-1],c[i],32);
    while(q--)
    {
        int opt,x,y,z;
        scanf("%d",&opt);
        if(opt==1)
        {
            scanf("%d%d",&x,&y);
            ans=0;
            query(T[id[x]-1],T[id[x]+siz[x]-1],y,32);
            cout<<ans<<endl;
        }
        else
        {
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            if(x!=y)
            cout<<check(x,y,z)<<endl;
            else
            cout<<(cc[x]^z)<<endl;
        }
    }
}