题解 CF916C

题目大意：

要求构造一张图，并让该图满足以下条件：

1. 有 \(n\) 个点，\(m\) 条边。
2. 每条边的边权范围是 \([1,10^9]\)。
3. 图中从 \(1\) 到 \(n\) 的最短路径长度是个质数。
4. 最小生成树的边权和为质数。
5. 没有重边和自环。

题目分析：

先用质数筛筛一遍，然后因为与生成树相关，所以不难想到先构造一颗树，然后在树上添加边权为 \(+\infty\) 的边。又因为要满足最短路径的长度为质数，所以方便起见，我们可以先构造一朵菊花，然后再在其上面加边即可。

时间复杂度 \(O(n+m)\)。

代码实现：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define TIME_LIMIT (time_t)2e3
#define dbg(x) cerr<<#x<<": "<<x<<endl;
#define inf (int)1e9
#define MAX_SIZE (int)2e6
bitset<MAX_SIZE>nf;
int primes[MAX_SIZE];
void primeshai(int num) {
    for (int i = 2; i < num; i++) {
        if (!nf[i])
            primes[++primes[0]] = i;

        for (int j = 1; j <= primes[0] && primes[j]*i <= num; j++) {
            nf[i * primes[j]] = 1;

            if (i % primes[j] == 0)
                break;
        }
    }
}

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
#ifdef LOCAL
    freopen("in.in", "r", stdin);
    freopen("out.out", "w", stdout);
    time_t cs = clock();
#endif
    //========================================
    primeshai(MAX_SIZE);
    int m, n;
    cin >> n >> m;
    int nowsum = (n - 2) * 2;
    int lastw = primes[1];

    for (int i = 1; i <= primes[0] && primes[i] + nowsum < MAX_SIZE; i++) {
        if (!nf[nowsum + primes[i]]) {
            nowsum += primes[i];
            lastw = primes[i];
            break;
        }
    }

    cout << 2 << ' ' << nowsum << endl;
    cout << 1 << ' ' << 2 << ' ' << lastw << endl;

    for (int i = 2; i < n; i++)
        cout << 1 << ' ' << i + 1 << ' ' << 2 << endl;

    int cnt = 0;
    m -= n - 1;

    while (cnt < m) {
        for (int i = 2; i < n; i++) {
            for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
                cout << i << ' ' << j << ' ' << inf << endl;
                cnt++;

                if (cnt >= m)
                    break;
            }

            if (cnt >= m)
                break;
        }
    }

    //========================================
#ifdef LOCAL
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    time_t ce = clock();
    cerr << "Used Time: " << ce - cs << " ms." << endl;

    if (TIME_LIMIT < ce - cs)
        cerr << "Warning!! Time exceeded limit!!" << endl;

#endif
    return 0;
}