P7112 【模板】行列式求值

学《高等代数》第二章的时候过来搜了搜模板，结果真搜到了。于是水一篇题解。

本文部分内容来自《高等代数》。

行列式定义

对于一个 $n$ 阶行列式

\[A_{n \times n}=
\begin{vmatrix}
a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\
a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}\]

其结果为所有不同行不同列的元素乘积的代数和。用数学语言写为：

\[\sum_{j_1j_2 \cdots j_n} (-1) ^ {\tau(j_1j_2\cdots j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}
\]

其中 $j_1j_2 \cdots j_n$ 为 $1 \sim n$ 的一个排列。$\tau(j_1j_2 \cdots j_n)$ 表示排列 $j$ 的逆序数的个数。

可以看出，如果 $\tau(j_1 \sim j_n)$ 为偶数，那么该排列对答案的贡献为正。否则为负。

行列式性质

《高代》里原本有七条性质，这里只证明有用的五条。

性质一：行列式转置后值不变。即：

\[\begin{vmatrix}
a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\
a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix} =

\begin{vmatrix}
a_{11}& a_{21}& \cdots & a_{n1} \\
a_{12}& a_{22}& \cdots & a_{n2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{1n}& a_{2n}& \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix} \]

性质二：行列式内某一行的公因子可以提出。

\[\begin{vmatrix}
a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\
a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
ka_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{in} & \\
a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix} =
k
\begin{vmatrix}
a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\
a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} & \\
a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
\]

证明：

首先考虑 $n$ 级行列式的 $n!$ 项。如果把他们分成 $n$ 组，一定有一种方案，使得第 $1$ 组中都含有 $a_{i1}$，第 $2$ 组中都含有 $a_{i2}$，以此类推。如果第 $j$ 项提出 $a_{ij}$ 后记作 $A_{ij}$，那么有

\[\begin{vmatrix}
a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\
a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix} =
a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in} \\
= \sum_{j = 1}^{n} a_{ij}A_{ij}
\]

这将方便我们后面的讨论。

现在证明性质二：

ka_{i1}A_{i1} + ka_{i2}A_{i2} + \cdots + ka_{in}A_{in} \\
= k(a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in})
= k
\begin{vmatrix}
a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\
a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
\]

性质三：

\[\begin{vmatrix}
a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\
a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
b_1 + c_1 & b_2 + c_2 & \cdots & b_n + c_n \\
a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix} \\

=
\begin{vmatrix}
a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\
a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
b_1 & b_2 & \cdots & b_n \\
a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix} +
\begin{vmatrix}
a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\
a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
c_1 & c_2 & \cdots & c_n \\
a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
\]

证明：

原行列式可写成 $(b_1 + c_1)A_{i1} + (b_2 + c_2)A_{i2} + \cdots + (b_n + c_n)A_{in}$，这等于右式。

性质四：把第 $k$ 行的倍数加到第 $i$ 行，行列式不变。

证明太容易而公式又太难打，就不写了。

性质五：对调行列式的两行，行列式反号。

证明：

\[\begin{vmatrix}
a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\
a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
\vdots & \vdots & &\vdots \\
a_{k1} & a_{k2} & \cdots &a_{kn} \\
\vdots & \vdots & &\vdots \\
a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\
a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i1} + a_{k1}& a_{i2} + a_{k2}& \cdots & a_{in} + a_{kn}\\
\vdots & \vdots & &\vdots \\
a_{k1} & a_{k2} & \cdots &a_{kn} \\
\vdots & \vdots & &\vdots \\
a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix} \\
= \begin{vmatrix}
a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\
a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i1} + a_{k1}& a_{i2} + a_{k2}& \cdots & a_{in} + a_{kn}\\
\vdots & \vdots & &\vdots \\
-a_{i1} & -a_{i2} & \cdots & -a_{in} \\
\vdots & \vdots & &\vdots \\
a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix} \\
= \begin{vmatrix}
a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\
a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kn}\\
\vdots & \vdots & &\vdots \\
-a_{i1} & -a_{i2} & \cdots & -a_{in} \\
\vdots & \vdots & &\vdots \\
a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix} \\
= - \begin{vmatrix}
a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\
a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kn}\\
\vdots & \vdots & &\vdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
\vdots & \vdots & &\vdots \\
a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
\]

其中第一步是利用性质四，将第 $k$ 行加到了第 $i$ 行上。

第二步是利用性质四，将第 $i$ 行减去第 $k$ 行。

第三步是利用性质四，将第 $i$ 行加到了第 $k$ 行上。

最后一步是利用性质二，将第 $i$ 行提出 $-1$。

证毕。

特殊的行列式

对角行列式

形如

$\begin{vmatrix}
a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & a_{22} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}$

的行列式称为对角行列式。其结果为 $a_{11} \times a_{22} \cdots a_{nn}$

三角行列式

形如 $\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & 0 & a_{nn} \\
\end{vmatrix}$ 的行列式被称为三角行列式，其结果与对角行列式相同。

行列式计算

显然，如果按照定义，我们需要 $O(n \times n!)$ 的复杂度。显然无法接受。

由于存在一些特殊的行列式，可以考虑将原行列式转化为三角行列式后求值。思路就是将原行列式利用性质一到四进行转化。

例如有行列式 $\begin{vmatrix}
2 & 3 & 5 \\
3 & 4 & 7 \\
4 & 3 & 2
\end{vmatrix}$，首先可以将 $2 \sim 3$ 行分别加上第一行的 $-\dfrac{3}{2}, -2$ 倍，化为 $\begin{vmatrix}
2 & 3 & 5 \\
0 & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} \\
0 & -3 & -8
\end{vmatrix}$。

接下来，把第三行加上第二行的 $-6$ 倍，可得 $\begin{vmatrix}
2 & 3 & 5 \\
0 & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} \\
0 & 0 & -5
\end{vmatrix}$

于是原式化为了一个三角行列式。对角线乘积即为答案 $5$。

这个方法类似高斯消元的过程。因此就把它叫做高斯消元吧。

可以看出，这个方法的时间复杂度是 $O(n ^ 3)$ 的，完全可以接受。

带模数行列式计算

如果带模数怎么算行列式的值呢？

有一种方法叫做辗转相减法，可以完美的解决这个问题。

比如有行列式 $\begin{vmatrix}
3 & 2\\
4 & 1
\end{vmatrix}$，首先先用第二行的第一个数除以第一行第一个数，得到 $1$。（这里是下取整）。

然后用第二行减去第一行 $\times 1$，得到 $\begin{vmatrix}
3 & 2\\
1 & -1
\end{vmatrix}$

容易证明第二行第一个数在操作完之后一定小于第一行第一个数。因此交换 $1, 2$ 行，得到 $-\begin{vmatrix}
1 & -1\\
3 & 2
\end{vmatrix}$。

重复上述操作，直到第一行为 $0$。得到这样的行列式：$\begin{vmatrix}
0 & 5\\
1 & -1
\end{vmatrix}$。

最后再把一、二行交换即可得到下三角行列式：

\[-\begin{vmatrix}
1 & -1\\
0 & 5
\end{vmatrix}\]

答案即为 $-5$。

由于在辗转相减的过程中可以取模，所以这个问题就被完美解决了。

分析一下复杂度。易证辗转相减的复杂度与欧几里得算法类似，为 $O(\log n)$ 级别。如果记交换两行复杂度为 $O(n)$，那么总复杂度就为 $O(n ^ 2(\log n + n))$。

注意：两行交换时千万别忘变号！！！

代码

#include <algorithm>

#include <cstdio>

#define int long long

using namespace std;

const int N = 610;

int n, p, w[N][N], f;

void Swap(int &a, int &b) {

	for (int i = 1; i <= n; i ++ )

		swap(w[a][i], w[b][i]);

	f ^= 1; // 变号

}

int gauss() {

	for (int i = 1; i <= n; i ++ )

		for (int j = i + 1; j <= n; j ++ ) {

			while (w[i][i]) {

				int K = (int)w[j][i] / w[i][i];

				for (int k = i; k <= n; k ++ )

					((w[j][k] -= K * w[i][k] % p) += p) %= p;

				Swap(i, j);

			} Swap(i, j);

		}

	int ans = 1;

	for (int i = 1; i <= n; i ++ )

		(ans *= w[i][i]) %= p;

	return (f ? (-ans + p) % p : (ans + p) % p);

}

signed main() {

	scanf("%lld%lld", &n, &p);

	for (int i = 1; i <= n; i ++ )

		for (int j = 1; j <= n; j ++ )

			scanf("%lld", &w[i][j]);

	return 0 & printf("%lld\n", gauss());;

}

本文公式很多，可能有笔误。希望大家可以指出。