Solution -「NOI 2021」轻重边

Description

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给出一棵树，初始边权为 \(0\)，支持毛毛虫虫体赋 \(1\)，虫足赋 \(0\)，以及查询路径边权和操作，\(n,m\leqslant 10^5\)。

Solution

立马想到按时间染色，那么判定一条边 \((u,v)\) 为重边的充要条件即 \(col(u)=col(v)\)（初始每个节点的颜色为 \(1,\dots,n\)）。

然后修改就转化为链覆盖，查询就成了查询区间相邻颜色相同二元组个数。HLD & 线段树可以解决。

说一下线段树的维护方法，维护区间左端点颜色、右端点颜色以及相邻颜色相同二元组个数（还有区间覆盖懒标）。向上 / 下更新均显。

因为整篇题解加起来还没有代码长，所以为避免头轻脚重折叠了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++);
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline ll read() {
	ll x=0,f=0; char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+(ch&15),ch=getchar();
	return f?-x:x;
}
const int N=100100;
vector<int> G[N];
int n,m,dep[N],son[N],top[N],fa[N],sz[N],dfn[N],sjc,ton[N],col[N],cnt;
struct node { int lc,rc,num,tag; } tr[N*4],emp;
void push_up(int now) {
	tr[now].lc=tr[now<<1].lc;
	tr[now].rc=tr[now<<1|1].rc;
	tr[now].num=tr[now<<1].num+tr[now<<1|1].num+(tr[now<<1].rc==tr[now<<1|1].lc);
}
void push_down(int now,int l,int r) {
	if(!tr[now].tag) return;
	int mid=(l+r)>>1;
	tr[now<<1].num=mid-l,tr[now<<1|1].num=r-mid-1;
	tr[now<<1].lc=tr[now<<1|1].lc=tr[now].tag;
	tr[now<<1].rc=tr[now<<1|1].rc=tr[now].tag;
	tr[now<<1].tag=tr[now<<1|1].tag=tr[now].tag;
	tr[now].tag=0;
}
void build(int l,int r,int now) {
	tr[now]=emp;
	if(l==r) return ++cnt,tr[now]=node{cnt,cnt,0,0},void();
	int mid=(l+r)>>1;
	build(l,mid,now<<1),build(mid+1,r,now<<1|1);
	push_up(now);
}
void ins(int l,int r,int now,int x,int y,int v) {
	if(l>y||r<x) return;
	if(l>=x&&r<=y) return tr[now].tag=tr[now].lc=tr[now].rc=v,tr[now].num=r-l,void();
	int mid=(l+r)>>1;
	push_down(now,l,r);
	ins(l,mid,now<<1,x,y,v),ins(mid+1,r,now<<1|1,x,y,v);
	push_up(now);
}
int find0(int l,int r,int now,int x,int y) {
	if(l>=x&&r<=y) return tr[now].num;
	int mid=(l+r)>>1,res=0;
	push_down(now,l,r);
	if(mid>=x) res+=find0(l,mid,now<<1,x,y);
	if(mid<y) res+=find0(mid+1,r,now<<1|1,x,y);
	return res+(x<=mid&&y>mid&&tr[now<<1].rc==tr[now<<1|1].lc);
}
int find1(int l,int r,int now,int x) {
	if(l==r) return tr[now].lc;
	int mid=(l+r)>>1;
	push_down(now,l,r);
	return mid>=x?find1(l,mid,now<<1,x):find1(mid+1,r,now<<1|1,x);
}
void clear(int l,int r,int now) {
	tr[now]=emp;
	if(l==r) return;
	int mid=(l+r)>>1;
	clear(l,mid,now<<1),clear(mid+1,r,now<<1|1);
}
signed main() {
	function<void(int,int)> dfs0=[&](int x,int las) {
		fa[x]=las,dep[x]=dep[las]+1,sz[x]=1;
		for(int y:G[x]) if(y!=las) dfs0(y,x),sz[x]+=sz[y],(sz[y]>sz[son[x]])&&(son[x]=y);
	};
	function<void(int,int,int)> dfs1=[&](int x,int las,int t) {
		top[x]=t,ton[dfn[x]=++sjc]=x;
		if(son[x]) dfs1(son[x],x,t);
		for(int y:G[x]) if(y!=las&&y!=son[x]) dfs1(y,x,y);
	};
	for(int Case=read(); Case; --Case) {
		n=read(),m=read();
		for(int i=1,x,y; i<n; ++i) x=read(),y=read(),G[x].push_back(y),G[y].push_back(x);
		dfs0(1,0),dfs1(1,0,1),build(1,n,1);
		for(int t,x,y; m; --m) {
			t=read(),x=read(),y=read();
			if(t==1) {
				++cnt;
				while(top[x]!=top[y]) {
					if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
					ins(1,n,1,dfn[top[x]],dfn[x],cnt);
					x=fa[top[x]];
				}
				if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
				ins(1,n,1,dfn[x],dfn[y],cnt);
			} else {
				int res=0;
				while(top[x]!=top[y]) {
					if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
					res+=find0(1,n,1,dfn[top[x]],dfn[x])+(find1(1,n,1,dfn[top[x]])==find1(1,n,1,dfn[fa[top[x]]]));
					x=fa[top[x]];
				}
				if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
				res+=find0(1,n,1,dfn[x],dfn[y]);
				printf("%d\n",res);
			}
		}
		for(int i=1; i<=n; ++i) dep[i]=son[i]=top[i]=fa[i]=sz[i]=dfn[i]=ton[i]=0,G[i].clear();
		sjc=cnt=0,clear(1,n,1);
	}
	return 0;
}