【题解】A18747.眼红的同学

题目链接：眼红的同学

题干信息很简单，看到数据量之后就不简单了。在数据量小的时候可以使用双层循环暴力的方法来求答案。显然对于这道题而言O(n^2)是完全过不去的。

前置知识：

1. 使用树状数组求逆序对
2. 会归并排序等分治算法。

如果想要了解跟多信息，可以自行在搜索引擎搜索有关CDQ分治的练习题。

考虑使用分治算法来解决，这是一道经典的三维偏序问题。对于这种坐标相关题目，一个很常见的方法是先对其中一个纬度进行排序。这样子控制一个纬度之后再去查找速度就会快很多。

例如如果控制语文成绩这个维度，按照从大到小的顺序排序后可以得出以下结论：

第i位同学的嫉妒值一定只会被前i-1位同学所影响，排在i后面的所有学生都不会贡献为第i为同学贡献嫉妒值。

接下来的做法跟分治逆序对很像，每次将所有的数字分成两半，以任意一个k为分界线，保证第k个学生的语文成绩低于第k+1个学生的成绩即可。直至区间的长度为1。

由于前半部分的x肯定比后半部分的x要大，可以按照数学成绩再分别被前半部分和后半部分的学生进行排序。这样子依然也不会损失单调性，只要保证前半部分x都比后半部分x大即可。接下来我们就可以遍历 后半部分，在遍历的时候计算单个点所获得的贡献（这些贡献来自于前半部分）。

截至目前已经对两个纬度进行排序了，最后一个纬度可以使用树状数组进行维护。这部分可以借用树状数组求逆序对的思想（请自行查阅）。

时间复杂度也比较好计算，分治的时间复杂度为\(O(log(n) \times n)\)。但是树状数组的单点修改和区间查询也分别是\(O(\log(n))\)级别的。综合下来时间复杂度在\(O(n \times \log(n)^2)\)附近。因为题输入数据比较大，注意常数优化。

参考代码如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#define int long long
using namespace std;

const int MAXN = 3e5 + 5;
int maximum;
int n, ans[MAXN];
int L[MAXN], R[MAXN];
int bit[MAXN << 1];
struct student{
    int x, y, z;
    int id, ans, val;
} arr[MAXN];

bool cmp1(student a, student b){
    if (a.x != b.x) return a.x > b.x;
    if (a.y != b.y) return a.y > b.y;
    return a.z > b.z;
}

bool cmp2(student a, student b){
    if (a.y != b.y) return a.y > b.y;
    if (a.z != b.z) return a.z > b.z;
    return a.x > b.x;
}

inline int max(int a, int b, int c){
    return max(a, max(b, c));
}

inline int lowbit(int k) {
    return k & (-k);
}

void add(int x, int val){
    for (int i=x; i<=maximum; i+=lowbit(i))
        bit[i] += val;
    return ;
}

int query(int x){
    int ans = 0;
    for (int i=x; i; i-=lowbit(i))
        ans += bit[i];
    return ans;
}

// 分治闭区间[L,R]
void cdq(int l, int r){
    if (l >= r || L[r] == L[l]) return ;
    int mid = L[(l + r) >> 1];
    if (arr[mid].x == arr[mid+1].x) mid--;
    if (mid < l) {
        // 往右边寻找中点
        mid = R[(l + r) >> 1];
        if (mid + 1 > r) return ;
    }
    cdq(l, mid); cdq(mid+1, r);
    sort(arr+l, arr+mid+1, cmp2);
    sort(arr+mid+1, arr+r+1, cmp2);
    int j = l;
    for (int i=mid+1; i<=r; i++){
        while (j <= mid && arr[j].y > arr[i].y){
            add(arr[j].z, arr[j].val);
            j++;
        }
        arr[i].ans += query(maximum) -  query(arr[i].z);
    }
    // 恢复树状数组
    for (int i=l; i<j; i++)
        add(arr[i].z, -arr[i].val);
    return ;
}