P7854-「EZEC-9」GCD Tree【构造】

正题

题目连接:https://www.luogu.com.cn/problem/P7854

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题目大意

给出\(n\)数字的一个序列\(a\)。

现在要求构造一棵树，使得对于任意的\((x,y)\)都有

\[gcd(a_x,a_y)=a_{lca(x,y)}
\]

\(1\leq n\leq 10^5,1\leq a_i\leq 10^6\)

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解题思路

考虑对于一个数字\(a_x\)，我们枚举它的存在于\(a\)序列中所有约数\(a_d\)，考虑对于这些\(a_d\)如果它们之间不存在祖先关系那么显然无解，否则我们就选择深度最大的那个节点连接。

当然枚举约数太麻烦所以我们直接枚举每个数的倍数。

然后这样的话发现其实是有问题的，因为我们只保证了\(a_{lca(x,y)}|gcd(a_x,a_y)\)。

但是有解时这样构造肯定是正确的，所以只需要考虑如何判断这种情况的无解即可。

发现如果对于每一对\((x,y)\)都存在\(a_{i}=gcd(a_x,a_y)\)那么就可以用上面那种情况构造。

所以我们只需要求出每个数字作为\(gcd(a_x,a_y)\)出现的次数就好了。

记\(m\)为\(max\{a_i\}\)，那么时间复杂度就是\(O(n+m\log m)\)

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解题思路

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=1e6+10,L=1e6;
int n,a[N],p[N],fa[N],r[N],c[N];
long long v[N];
bool cmp(int x,int y)
{return a[x]<a[y];}
int main()
{
	scanf("%d",&n);int d=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]),d=__gcd(d,a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		a[i]=a[i]/d,p[i]=i,c[a[i]]++;
	sort(p+1,p+1+n,cmp);
	int z=1;
	if(!c[1])return puts("-1")&0;
	for(int i=1;i<=L;i++){
		if(!c[i])continue;
		while(z<=n&&a[p[z]]<=i){
			fa[p[z]]=r[i];
			r[i]=p[z];z++;
		}
		for(int j=2*i;j<=L;j+=i){
			if(!c[j])continue;
			if(!r[j])r[j]=r[i];
			else{
				if(i%a[r[j]])return puts("-1")&0;
				r[j]=r[i];
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=L;i++){
		for(int j=i;j<=L;j+=i)
			v[i]+=c[j];
		v[i]=v[i]*v[i];
	}
	for(int i=L;i>=1;i--)
		for(int j=i+i;j<=L;j+=i)
			v[i]-=v[j];
	for(int i=1;i<=L;i++)
		if(v[i]&&!c[i])return puts("-1")&0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		printf("%d ",fa[i]);
	return 0;
}