P3337-[ZJOI2013]防守战线【单纯形】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3337

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题目大意

\(n\)个地方可以建立塔也可以不建立塔，第\(i\)个位置建立需要消耗\(C_i\)元

\(m\)个限制要求在某个区间内的塔的数量超过\(D_i\)

\(1\leq n\leq 1000,1\leq m\leq 10000\)

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题目大意

抽象成数学模型的话

\[minimize\ \ \sum_{i=1}^nC_ix_i
\]

\[\sum_{l_i}^{r_i}x_{i,j}\geq D_i
\]

然后网络流好像草不过去，考虑点线性规划玄学算法

先把它对偶了

\[maximize\ \ \sum_{i=1}^nD_ix_i
\]

\[\sum_{l_i}^{r_i}x_{i,j}\leq C_i
\]

然后就是一个裸的单纯形了。

所以单纯形是什么，这里就粗略的讲一下。

我是看线性规划与单纯形算法-吴一凡的课件学的

对于普通的松弛型有三个限制：

1. 对于每个\(i\)满足\(\sum_{j=1}^nA_{i,j}x_j+x_{n+i}=b_i\)
2. \(x_{n+i}\geq 0\)
3. 最大化\(\sum_{i=1}^nx_ic_i\)

定义所有的\(x_{n+i}\)为基变量，\(x_i(i\leq n)\)为非基变量

然后单纯形的流程就是先找出任意一个\(c_i\)为正的基变量\(x_p\)

然后去掉所有其他非基变量后得到一个对于\(x_p\)最小的限制，即最小的\(\frac{c_p}{a_{p,z}}\)

然后考虑交换非基变量\(x_p\)和基变量\(x_{z+n}\)，此时可以得到一个由第\(z\)行的式子推出的关于\(x_p\)的式子，带入回到需要最大化的式子当中。此时由于\(c_i\)为正，所以式子中会有一个正的常数。

此时这个常数就相当于大化了那个式子，不停重复上面的转轴操作直到无法找到正的\(c_i\)为止（此时就代表无法继续扩大了）

这个是实数的，但是我们这题的要求是整数，但是我们这里的约束矩阵\(A\)是一个全幺模矩阵，所以至少保证有一组最优解全是整数，又不用输出方案，直接单纯形暴艹就可以了

复杂度比较玄学，但是能过这题

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=1100;
const double eps=1e-8,inf=1e9;
int n,m;double c[N],w[N*10],a[N][N*10],ans;
void Pivot(int l,int e){
	c[l]/=a[l][e];
	for(int i=1;i<=m;i++)
		if(i!=e)a[l][i]/=a[l][e];
	a[l][e]=1.0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(i!=l&&fabs(a[i][e])>eps){
			c[i]-=a[i][e]*c[l];
			for(int j=1;j<=m;j++)
				if(j!=e)a[i][j]-=a[i][e]*a[l][j];
			a[i][e]=-a[i][e]*a[l][e];
		}

	ans+=w[e]*c[l];
	for(int i=1;i<=m;i++)
		if(i!=e)w[i]-=w[e]*a[l][i];
	w[e]=-w[e]*a[l][e];
}
double simplex(){
	while(1){
		double mins=inf;
		int i=0,j=0,k=0;
		for(j=1;j<=m;j++)
			if(w[j]>eps)break;
		if(j>m)return ans;
		for(i=1;i<=n;i++)
			if(a[i][j]>eps&&mins>c[i]/a[i][j])
				k=i,mins=c[i]/a[i][j];
		if(mins>=inf)return inf;
		Pivot(k,j);
	}
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf",&c[i]);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int l,r;
		scanf("%d%d%lf",&l,&r,&w[i]);
		for(int j=l;j<=r;j++)a[j][i]=1.0;
	}
	printf("%d\n",(int)(simplex()+0.5));
	return 0;
}