bzoj4821 && luogu3707 SDOI2017相关分析（线段树，数学）

题目大意

给定n个元素的数列，每一个元素有x和y两种元素，现在有三种操作：

$1\ L\ R$

设$xx$为$[l,r]$的元素的$x_i$的平均值，$yy$同理

求 $\frac{\sum_{i=L}^R(x_i-xx)(y_i-yy)} {\sum_{i=L}^R(xi-xx)^2}$

$2\ L\ R\ S\ T\ $
将$[L,R]$中的每个元素的$x_i$+S，$y_i$+T

$3\ L\ R\ S\ T\ $
对于$[L,R]$中的每个元素，设其为$i$，将它的$x_i$改为$S+i$，$y_i$改为$T+i$

其中$n \le 100000 ， m\le100000$

要是回答1询问的话，首先需要将线段树维护一个每个元素的x的平方的和、x的和、y的和，以及每一个元素x*y的和

那么我们就开一个struct来记录这些值

struct Node{

	double sx,sy,sqr,xy,sum;

};

up数组的话，和普通的线段树差不多

void up(int root)

{

	f[root].sx=f[2*root].sx+f[2*root+1].sx;

	f[root].sy=f[2*root].sy+f[2*root+1].sy;

	f[root].sqr=f[2*root].sqr+f[2*root+1].sqr;

	f[root].xy=f[2*root].xy+f[2*root+1].xy;

}

对于pushdown，我们首先考虑增加操作，对于一个区间$[l,r]$

$\sum (x_i+S)$ = $\sum x_i +(r-l+1)\times S$

$\sum (y_i+T)$ = $\sum y_i +(r-l+1)\times T$

$\sum(x_i+S)^2$ = $\sum x_i^2 + 2\times \sum x_i \times S +S^2$

$\sum(x_I+S)(y_i+T)$ = $\sum x_i y_i$ + $T\times \sum x_i$+$S\times \sum y_i$+$(r-l+1)\times T \times S$

经过一波操作，就可以直接在原来的基础上进行加法的操作了

注意！！！先更新乘法那些，再更新加法

if (add[root].x || add[root].y)

	{

	   add[2*root].x+=add[root].x;

	   add[2*root+1].x+=add[root].x;

	   add[2*root].y+=add[root].y;

	   add[2*root+1].y+=add[root].y;

	   f[2*root].sqr+=(mid-l+1)*add[root].x*add[root].x+2*f[2*root].sx*add[root].x;

	   f[2*root+1].sqr+=(r-mid)*add[root].x*add[root].x+2*f[2*root+1].sx*add[root].x;

	   f[2*root].xy+=(mid-l+1)*add[root].x*add[root].y+f[2*root].sx*add[root].y+f[2*root].sy*add[root].x;

	   f[2*root+1].xy+=(r-mid)*add[root].x*add[root].y+f[2*root+1].sx*add[root].y+f[2*root+1].sy*add[root].x;

	   f[2*root].sx+=(mid-l+1)*add[root].x;

	   f[2*root+1].sx+=(r-mid)*add[root].x;

	   f[2*root].sy+=(mid-l+1)*add[root].y;

	   f[2*root+1].sy+=(r-mid)*add[root].y;

       add[root].x=0;

       add[root].y=0;

	}

那么那么那么，对于有覆盖操作的的呢？

我们可以这么想，把覆盖分解成两步

1.把$x_i$和$y_i$修改成$i$

2.将$x_i+S$，$y_i+T$

那么我们思考，全部覆盖成$i$应该怎么做呢QwQ

首先，一旦一个区间被打了覆盖标记，那么之前的add 的标记就需要全部清空

我们会发现修改完的序列是这样的$1,2,3,4,5.....$

而$\sum_{i=1}^n i^2 = \frac {n(n+1)(2n+1)}{6}$

所以，对于一个区间$[l,r]$

$\sum x_i = \sum y_i = \frac{(r-l+1)(r+l)}{2}$

$\sum x_i^2 = \sum x_i y_i = \frac {(r+1)r(2r+1)}{6} - \frac{l(l-1)(2l-1)}{6}$

在下传标记的时候，当把覆盖标记下传完之后，把传到的那两个子区间的 $add$ 清空

一定记得把add的标记清空！！！！！！

if (flag[root])

    {

        flag[2*root+1]=1;flag[2*root]=1;flag[root]=0;add[2*root].x=add[2*root].y=add[2*root+1].x=add[2*root+1].y=0;

        f[2*root].sx=(l+mid)*(mid-l+1)/2;

        f[2*root].sy=(l+mid)*(mid-l+1)/2;

        f[2*root+1].sx=(r+mid+1)*(r-mid-1+1)/2;

        f[2*root+1].sy=(r+mid+1)*(r-mid-1+1)/2;

        f[2*root].xy=f[2*root].sqr=(mid+1)*mid*(2*mid+1)/6-(l-1)*l*(2*l-1)/6;

        f[2*root+1].xy=f[2*root+1].sqr=(r+1)*r*(2*r+1)/6-(mid)*(mid+1)*(2*mid+1)/6;

    }

build也和普通的线段树没什么区别

void build(int root,int l,int r)

{

    if (l==r)

    {

        f[root].sx=a[l].x;

        f[root].sy=a[l].y;

        f[root].xy=a[l].x*a[l].y;

        f[root].sqr=a[l].x*a[l].x;

        return;

    }

    int mid = (l+r) >> 1;

    build(2*root,l,mid);

    build(2*root+1,mid+1,r);

    up(root);

}

再就是update和change了 QwQ我的做法是把区间加和区间赋值分开写，其实和pushdown的操作基本上完全一样

直接上代码了

void update(int root,int l,int r,int x,int y,double px,double py)

{

    if (x<=l && r<=y)

    {

        add[root].x+=px;

        add[root].y+=py;

        f[root].xy+=(double)(r-l+1)*px*py+(double)f[root].sx*py+(double)f[root].sy*px;

        f[root].sqr+=(double)(r-l+1)*px*px+(double)f[root].sx*px*2;

        f[root].sx+=(double)(r-l+1)*px;

        f[root].sy+=(double)(r-l+1)*py;

        return;

    }

    pushdown(root,l,r);

    int mid = (l+r) >> 1;

    if (x<=mid) update(2*root,l,mid,x,y,px,py);

    if (y>mid) update(2*root+1,mid+1,r,x,y,px,py);

    up(root);

}

void change(int root,int l,int r,int x,int y)

{

    if (x<=l && r<=y)

    {

        flag[root]=1;

        f[root].sy=f[root].sx=(double)(r+l)*(double)(r-l+1)/2.0;

        f[root].xy=f[root].sqr=(double)(r+1)*(double)r*(double)(2*r+1)/6.0-(double)(l-1)*(double)l*(double)(2*l-1)/6.0;

        add[root].x=add[root].y=0;

        return;

    }

    pushdown(root,l,r);

    int mid = (l+r) >> 1;

    if (x<=mid) change(2*root,l,mid,x,y);

    if (y>mid) change(2*root+1,mid+1,r,x,y);

    up(root);

}

求答案的部分就不放了

其他的emmmm 也很裸直接上全部的代码

// luogu-judger-enable-o2

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<cstdlib>

#include<queue>

#include<map>

#include<vector>

using namespace std;

inline int read()

{

  int x=0,f=1;char ch=getchar();

  while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}

  while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}

  return x*f;

}

const int maxn = 3e5+1e2;

struct Node{

    double sx,sy,sqr,xy,sum;

};

struct po{

    double x,y;

};

Node f[4*maxn];

po add[4*maxn],a[maxn];

bool flag[4*maxn];

int n,m;

void up(int root)

{

    f[root].sx=f[2*root].sx+f[2*root+1].sx;

    f[root].sy=f[2*root].sy+f[2*root+1].sy;

    f[root].sqr=f[2*root].sqr+f[2*root+1].sqr;

    f[root].xy=f[2*root].xy+f[2*root+1].xy;

//	f[root].sum=f[2*root].sum+f[2*root+1].sum;

}

void pushdown(int root,int ll,int rr)

{

    double mid = (ll+rr)/2;

    double l=ll,r=rr;

    if (flag[root])

    {

        flag[2*root+1]=1;flag[2*root]=1;flag[root]=0;add[2*root].x=add[2*root].y=add[2*root+1].x=add[2*root+1].y=0;

        f[2*root].sx=(l+mid)*(mid-l+1)/2;

        f[2*root].sy=(l+mid)*(mid-l+1)/2;

        f[2*root+1].sx=(r+mid+1)*(r-mid-1+1)/2;

        f[2*root+1].sy=(r+mid+1)*(r-mid-1+1)/2;

        f[2*root].xy=f[2*root].sqr=(mid+1)*mid*(2*mid+1)/6-(l-1)*l*(2*l-1)/6;

        f[2*root+1].xy=f[2*root+1].sqr=(r+1)*r*(2*r+1)/6-(mid)*(mid+1)*(2*mid+1)/6;

    }

    if (add[root].x || add[root].y)

    {

       add[2*root].x+=add[root].x;

       add[2*root+1].x+=add[root].x;

       add[2*root].y+=add[root].y;

       add[2*root+1].y+=add[root].y;

       f[2*root].sqr+=(mid-l+1)*add[root].x*add[root].x+2*f[2*root].sx*add[root].x;

       f[2*root+1].sqr+=(r-mid)*add[root].x*add[root].x+2*f[2*root+1].sx*add[root].x;

       f[2*root].xy+=(mid-l+1)*add[root].x*add[root].y+f[2*root].sx*add[root].y+f[2*root].sy*add[root].x;

       f[2*root+1].xy+=(r-mid)*add[root].x*add[root].y+f[2*root+1].sx*add[root].y+f[2*root+1].sy*add[root].x;

       f[2*root].sx+=(mid-l+1)*add[root].x;

       f[2*root+1].sx+=(r-mid)*add[root].x;

       f[2*root].sy+=(mid-l+1)*add[root].y;

       f[2*root+1].sy+=(r-mid)*add[root].y;

       add[root].x=0;

       add[root].y=0;

    }

}

void build(int root,int l,int r)

{

    if (l==r)

    {

        f[root].sx=a[l].x;

        f[root].sy=a[l].y;

        f[root].xy=a[l].x*a[l].y;

        f[root].sqr=a[l].x*a[l].x;

        return;

    }

    int mid = (l+r) >> 1;

    build(2*root,l,mid);

    build(2*root+1,mid+1,r);

    up(root);

}

void update(int root,int l,int r,int x,int y,double px,double py)

{

    if (x<=l && r<=y)

    {

        add[root].x+=px;

        add[root].y+=py;

        f[root].xy+=(double)(r-l+1)*px*py+(double)f[root].sx*py+(double)f[root].sy*px;

        f[root].sqr+=(double)(r-l+1)*px*px+(double)f[root].sx*px*2;

        f[root].sx+=(double)(r-l+1)*px;

        f[root].sy+=(double)(r-l+1)*py;

        return;

    }

    pushdown(root,l,r);

    int mid = (l+r) >> 1;

    if (x<=mid) update(2*root,l,mid,x,y,px,py);

    if (y>mid) update(2*root+1,mid+1,r,x,y,px,py);

    up(root);

}

void change(int root,int l,int r,int x,int y)

{

    if (x<=l && r<=y)

    {

        flag[root]=1;

        f[root].sy=f[root].sx=(double)(r+l)*(double)(r-l+1)/2.0;

        f[root].xy=f[root].sqr=(double)(r+1)*(double)r*(double)(2*r+1)/6.0-(double)(l-1)*(double)l*(double)(2*l-1)/6.0;

        add[root].x=add[root].y=0;

        return;

    }

    pushdown(root,l,r);

    int mid = (l+r) >> 1;

    if (x<=mid) change(2*root,l,mid,x,y);

    if (y>mid) change(2*root+1,mid+1,r,x,y);

    up(root);

}

double queryxy(int root,int l,int r,int x,int y)

{

    if (x<=l && r<=y)

    {

        return f[root].xy;

    }

    pushdown(root,l,r);

    int mid = (l+r)>>1;

    double ans=0;

    if (x<=mid) ans+=queryxy(2*root,l,mid,x,y);

    if (y>mid) ans+=queryxy(2*root+1,mid+1,r,x,y);

    return ans;

}

double querysqr(int root,int l,int r,int x,int y)

{

    if (x<=l && r<=y)

    {

        return f[root].sqr;

    }

    pushdown(root,l,r);

    int mid = (l+r)>>1;

    double ans=0;

    if (x<=mid) ans+=querysqr(2*root,l,mid,x,y);

    if (y>mid) ans+=querysqr(2*root+1,mid+1,r,x,y);

    return ans;

}

double querysx(int root,int l,int r,int x,int y)

{

    if (x<=l && r<=y)

    {

        return f[root].sx;

    }

    pushdown(root,l,r);

    int mid = (l+r)>>1;

    double ans=0;

    if (x<=mid) ans+=querysx(2*root,l,mid,x,y);

    if (y>mid) ans+=querysx(2*root+1,mid+1,r,x,y);

    return ans;

}

double querysy(int root,int l,int r,int x,int y)

{

    if (x<=l && r<=y)

    {

        return f[root].sy;

    }

    pushdown(root,l,r);

    int mid = (l+r)>>1;

    double ans=0;

    if (x<=mid) ans+=querysy(2*root,l,mid,x,y);

    if (y>mid) ans+=querysy(2*root+1,mid+1,r,x,y);

    return ans;

}

double solve(int l,int r)

{

   double ax = querysx(1,1,n,l,r)/(double)(r-l+1);

   double ay = querysy(1,1,n,l,r)/(double)(r-l+1);

   update(1,1,n,l,r,-ax,-ay);

   double ans = queryxy(1,1,n,l,r)/querysqr(1,1,n,l,r);

   update(1,1,n,l,r,ax,ay);

   return ans;

}

int main()

{

  scanf("%d%d",&n,&m);

  for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&a[i].x);

  for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&a[i].y);

  build(1,1,n);

  for (int i=1;i<=m;i++)

  {

  	 int opt;

  	 int x,y;

     double px,py;

  	 opt=read();

  	 if (opt==1)

  	 {

  	 	 x=read(),y=read();printf("%.10lf\n",solve(x,y));

       }

     if (opt==2)

     {

     	x=read(),y=read();

     	scanf("%lf%lf",&px,&py);

     	update(1,1,n,x,y,px,py);

     }

     if (opt==3)

     {

     	x=read(),y=read();

     	scanf("%lf%lf",&px,&py);

     	change(1,1,n,x,y);

     	update(1,1,n,x,y,px,py);

     }

  }

  return 0;

}

QwQ共勉

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