洛谷 P5406 - [THUPC2019]找树（FWT+矩阵树定理）

题面传送门

首先看到这道题你必须要有一个很清楚的认识：这题新定义的 \(\oplus\) 符号非常奇怪，也没有什么性质而言，因此无法通过解决最优化问题的思路来解决这个问题，只好按照计数题的思路来解决，即考虑 \(cnt_k\) 表示权值为 \(k\) 的生成树的个数，那么我们即求最大的满足 \(cnt_k\ne 0\) 的 \(k\)。

考虑怎样维护这个东西，首先考虑一个非常 trivial 的情况，如果题目中求生成树权值的方法不是这个奇怪的 \(\oplus\) 运算而是加法怎么办。那么对于一条权值为 \(w\) 的边，如果它在生成树中，它会对生成树权值产生 \(w\) 的贡献，因此很自然地想到用幂级数表示权值，即将每条边看作一个幂级数 \(x^w\)，然后跑矩阵树定理会得出一个幂级数 \(F(x)\)，那么权值为 \(v\) 的生成树棵数就是 \([x^v]F(x)\)。

接下来考虑将加法换为二进制运算后怎样处理，我们还是将每条边看作一个幂级数 \(x^w\)，那么与之前唯一的区别是，原来幂级数 \(x^u\) 和 \(x^v\) 乘积的贡献会累加到 \(x^{u+v}\) 上，即加法卷积，现在 \(x^u\) 和 \(x^v\) 的乘积则会累加到 \(x^{u|v}\)（或者 \(x^{u\&v}\)，或 \(x^{u\operatorname{xor}v}\)）上，即二进制卷积。看到二进制卷积我们很自然地想到一个东西——FWT，因此如果题目中的 \(\oplus\) 只是 \(\operatorname{and}\) 或 \(\operatorname{or}\) 或 \(\operatorname{xor}\) 的话，那么我们就可以一遍 FWT，再求出基尔霍夫矩阵解出每种权值的行列式，再 IFWT 回去求出所有的 \(cnt_k\)。而现在对于新定义的 \(\oplus\) 运算，虽然它每一位的运算规律都不同，但由于它们彼此之间互相独立，并且都是二进制运算，因此 FWT 对于该运算依然适用，具体来说对于每一位如果它是 ^ 就按照 FWTxor/IFWTxor 的套路合并，&,| 也同理，这样即可求出最终的 \(cnt_k\)。

时间复杂度 \(2^wn^3\)，可以通过此题。记得模上一个大质数，为了防止冲突我取了 \(993244853\)（请求出生成树个数模 \(993244853\) 等于 \(0\) 的概率（大雾））。

const int MOD=993244853;
const int INV2=496622427;
const int MAXN=70;
const int MAXV=1<<12;
int qpow(int x,int e){
	int ret=1;
	for(;e;e>>=1,x=1ll*x*x%MOD) if(e&1) ret=1ll*ret*x%MOD;
	return ret;
}
void add(int &x,int v){((x+=v)>=MOD)&&(x-=MOD);}
int n,m,k;char s[14];
int a[MAXN+5][MAXN+5][MAXV+5],b[MAXV+5];
void FWT(int *a,int type){
	for(int i=2,lg=0;lg<k;i<<=1,++lg){
		for(int j=0;j<(1<<k);j+=i)
			for(int l=0;l<(i>>1);l++){
				if(s[lg]=='|'){
					if(~type) add(a[(i>>1)+j+l],a[j+l]);
					else add(a[(i>>1)+j+l],MOD-a[j+l]);
				} else if(s[lg]=='&'){
					if(~type) add(a[j+l],a[(i>>1)+j+l]);
					else add(a[j+l],MOD-a[(i>>1)+j+l]);
				} else {
					int X=a[j+l],Y=a[(i>>1)+j+l];
					if(~type) a[j+l]=(X+Y)%MOD,a[(i>>1)+j+l]=(X-Y+MOD)%MOD;
					else a[j+l]=1ll*INV2*(X+Y)%MOD,a[(i>>1)+j+l]=1ll*INV2*(X-Y+MOD)%MOD;
				}
			}
	}
}
int getdet(int x){
	int sgn=1;
	for(int i=1;i<n;i++){
		int t=i;
		for(int j=i+1;j<n;j++) if(a[j][i][x]) t=j;
		for(int j=i;j<n;j++) swap(a[i][j][x],a[t][j][x]);
		if(t^i) sgn=-sgn;
		int iv=qpow(a[i][i][x],MOD-2);
		for(int j=i+1;j<n;j++){
			int mul=1ll*(MOD-iv)*a[j][i][x]%MOD;
			for(int l=i;l<n;l++) a[j][l][x]=(a[j][l][x]+1ll*mul*a[i][l][x])%MOD;
		}
	} int res=(sgn+MOD)%MOD;
//	for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) printf("%d%c",a[i][j][x]," \n"[j==n]);
	for(int i=1;i<n;i++) res=1ll*res*a[i][i][x]%MOD;
	return res;
}
int main(){
	scanf("%d%d%s",&n,&m,s);k=strlen(s);
	for(int i=1,u,v,w;i<=m;i++){
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);--u;--v;
		add(a[u][v][w],MOD-1);add(a[v][u][w],MOD-1);
		add(a[u][u][w],1);add(a[v][v][w],1);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) FWT(a[i][j],1);
//	for(int i=0;i<(1<<k);i++){
//		for(int u=1;u<n;u++) for(int v=1;v<n;v++)
//			printf("%d%c",a[u][v][i]," \n"[v==n]);
//		printf("\n");
//	}
	for(int i=0;i<(1<<k);i++) b[i]=getdet(i)/*,printf("%d\n",b[i])*/;
	FWT(b,-1);for(int i=(1<<k)-1;~i;i--) if(b[i]) return printf("%d\n",i),0;
//	assert(114514^1919810^114514^1919810);
	puts("-1");
	return 0;
}