题目地址:https://leetcode-cn.com/problems/remove-max-number-of-edges-to-keep-graph-fully-traversable

题目描述

Alice 和 Bob 共有一个无向图,其中包含 n 个节点和 3 种类型的边:

类型 1:只能由 Alice 遍历。
类型 2:只能由 Bob 遍历。
类型 3:Alice 和 Bob 都可以遍历。

给你一个数组 edges ,其中 edges[i] = [typei, ui, vi] 表示节点 uivi 之间存在类型为 typei 的双向边。请你在保证图仍能够被 Alice 和 Bob 完全遍历的前提下,找出可以删除的最大边数。如果从任何节点开始,Alice 和 Bob 都可以到达所有其他节点,则认为图是可以完全遍历的。

返回可以删除的最大边数,如果 Alice 和 Bob 无法完全遍历图,则返回 -1 。

示例 1:

输入:n = 4, edges = [[3,1,2],[3,2,3],[1,1,3],[1,2,4],[1,1,2],[2,3,4]]
输出:2
解释:如果删除 [1,1,2] 和 [1,1,3] 这两条边,Alice 和 Bob 仍然可以完全遍历这个图。再删除任何其他的边都无法保证图可以完全遍历。所以可以删除的最大边数是 2 。

示例 2:

输入:n = 4, edges = [[3,1,2],[3,2,3],[1,1,4],[2,1,4]]
输出:0
解释:注意,删除任何一条边都会使 Alice 和 Bob 无法完全遍历这个图。

示例 3:

输入:n = 4, edges = [[3,2,3],[1,1,2],[2,3,4]]
输出:-1
解释:在当前图中,Alice 无法从其他节点到达节点 4 。类似地,Bob 也不能达到节点 1 。因此,图无法完全遍历。

提示:

  1. 1 <= n <= 10^5
  2. 1 <= edges.length <= min(10^5, 3 * n * (n-1) / 2)
  3. edges[i].length == 3
  4. 1 <= edges[i][0] <= 3
  5. 1 <= edges[i][1] < edges[i][2] <= n
  6. 所有元组 (typei, ui, vi) 互不相同

题目大意

删除最多的边,让两个人最终都能遍历全图。

解题思路

并查集

题目要求最多删除多少条边之后,两人都能完全遍历该图,换句话说,是要保证最终整个图对两个人都是连通的。

我们先讨论简单的情况,假设只有一种类型的边并且只有 1 个人,这种情况下最多删除图中的多少条边,仍然能让此人完全遍历这个图呢?

连通区域的问题,一般都可以使用 并查集 解决。并查集分为 “并”“查” 两部分。“并” 的部分,表示让两个区域连通;“查” 的部分,表示检查两个区域是否连通。本文不详细讲解并查集,但是会在代码部分,分享一个常用的并查集的代码模板。

我们需要遍历每一条边,判断这条边的两个顶点所在区域是否连通(利用了并查集的“查”的功能)。如果两个区域已经连通,说明该边无效,则抛弃该边;否则,说明这条边连通了两个未连通的区域,需要保留该边,且连通这两个区域(利用了并查集的“并”的功能)。

由于本题有两人,所以需要对 Alice 和 Bob 两人分别建一个并查集。我们仍然需要遍历每一条边,由于每个边是有类型的,因此需要根据这条边类型,确定是使用 Alice 的并查集还是 Bob 的并查集。

  • 类型 1:只能由 Alice 遍历,故使用 Alice 的并查集。
  • 类型 2:只能由 Bob 遍历,故使用 Bob 的并查集。
  • 类型 3:Alice 和 Bob 都可以遍历,故使用 Alice 和 Bob 两个人的并查集。

类型 3 的边可以同时连通 Alice 和 Bob 两个人的区域,一条边可以抵得上类型 1 和类型 2 两条边。题目要求最多可以删除多少条边,也就是说最终的图中应该保留最少的边,因此我们想到可以优先保留类型 3 的边。这种策略叫做“贪心”。

至此,本题的解题方法已经清楚了:

  1. 对 Alice 和 Bob 两人分别建一个并查集;

  2. 遍历所有类型 3 的边,分别检查 Alice 和 Bob 的两个并查集,判断此边的两个顶点所在区域是否连通,若不连通则使其连通;若已连通,则可以删除该边;

  3. 遍历所有类型 1 和类型 2 的边,如果是类型 1 则检查 Alice 的并查集,如果是类型 2 则检查 Bob 的并查集,判断此边的两个顶点所在区域是否连通,若不连通则使其连通;若已连通,则可以删除该边。

  4. 判断两个并查集的最终连通区域数是否都为 1。如果都为 1, 说明最终两人的图都是连通的,返回删除了多少边;否则,说明至少一人的图不连通,返回-1.

代码

先分享通用的并查集的模板。来自负雪明烛的博客「代码模板,刷题必会」,地址 https://fuxuemingzhu.blog.csdn.net/article/details/101900729

class DSU:
def __init__(self):
self.par = range(10001)

def find(self, x):
if x != self.par[x]:
self.par[x] = self.find(self.par[x])
return self.par[x] def union(self, x, y):
self.par[self.find(x)] = self.find(y) def same(self, x, y):
return self.find(x) == self.find(y)

对于本题而言,需要改造 union() 函数:如果此边属于同一个区域,那么应该删除此边,返回 1;如果此边属于不同的区域,则此边成功连通了两个区域,返回 0。这样,我们就可以直接对 union() 函数的返回结果求和,统计最终删除了多少条边。

本题的 Python 代码如下:

class Solution(object):
def maxNumEdgesToRemove(self, n, edges):
A = DSU(n)
B = DSU(n)
res = 0
for edge in edges:
if edge[0] != 3:
continue
res += A.union(edge[1], edge[2])
# 这里的结果只用加1次,因为只是1条边
B.union(edge[1], edge[2])
for edge in edges:
if edge[0] == 3:
continue
cur = A if edge[0] == 1 else B
res += cur.union(edge[1], edge[2])
return res if (A.regions() == 1 and B.regions() == 1) else -1 class DSU():
def __init__(self, n):
self.par_ = range(n + 1)
self.regions_ = n

def find(self, x):
if x != self.par_[x]:
self.par_[x] = self.find(self.par_[x])
return self.par_[x] def union(self, x, y):
px = self.find(x)
py = self.find(y)
if px == py:
return 1
self.par_[px] = py
self.regions_ -= 1
return 0 def regions(self):
return self.regions_

参考资料:

  1. 力扣(LeetCode),https://leetcode-cn.com/problems/remove-max-number-of-edges-to-keep-graph-fully-traversable

  2. 花花酱:https://www.bilibili.com/video/BV1PZ4y1N78t

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日期

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