LuoguP7441 「EZEC-7」Erinnerung 题解

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给定 \(x,y,K\)。定义两个数列 \(c,e\)，其中 \(c_i=\begin{cases}x\cdot i&x\cdot i\leqslant K\\-K&\text{otherwise}\end{cases}\)，\(e_i=\begin{cases}y\cdot i&y\cdot i\leqslant K\\-K&\text{otherwise}\end{cases}\)。每次操作从两个数列中各选取一个数，满足两个数之和 \(\geqslant K\)。一个数选取了之后不能再重复取。问你一共能进行多少次操作。

数据范围：\(t\) 组数据，\(1\leqslant t\leqslant 10^5\)，\(0\leqslant x,y\leqslant 10^{10}\)，\(1\leqslant K\leqslant 10^{10}\)。

Solution

不难发现，如果 \(x,y\neq0\)，那么答案必定是 \(\min\{\left\lfloor\dfrac Kx\right\rfloor,\left\lfloor\dfrac Ky\right\rfloor\}\)。

证明：

（1） \(y\geqslant x\)，则对于 \((c_n,e_1)\) 这一对数（\(n\) 表示能够使 \(c_i\geqslant 0\) 成立的最大的 \(i\)），因为 \(c_n+x\geqslant K\)，而 \(y\geqslant x\)，所以必然有 \(c_n+e_1=c_n+y\geqslant K\)。后面的 \((c_{n-1},e_2),\dots\) 也显然成立。

（2）\(y\leqslant x\)，则对于 \((c_1,e_m)\) 这两对 （\(m\) 含义类比于上面的 \(n\)），因为 \(e_m+y\geqslant K\)，而 \(x\geqslant y\)，所以必然有 \(c_1+e_m=e_m+x\geqslant K\)。后面的 \((c_2,e_{m-1}),\dots\) 也显然成立。

证明完之后我们再来看看 \(x,y\) 中至少有一个等于 \(0\) 时的情况：

（1）\(x,y\) 中有且仅有一个等于 \(0\)。则我们需要看是否有 \(\max\{x,y\}\mid K\)，如果有的话，那我们可以拿一个 \(K\) 和 \(0\) 组成一对，这对数的和恰好等于 \(K\)，此时答案为 \(1\)；否则，答案为 \(0\)。

（2）\(x,y\) 都等于 \(0\)，显然，由于 \(K\geqslant 1\)，且无法选出一对数使得它们的和为正整数，所以答案为 \(0\)。

分类讨论完这些情况后，代码就不难打了。

Code

int main() {
	MT {
		ll x = Rll, y = Rll, k = Rll;
		if(!x && y && !(k % y)) puts("1");
		else if(!y && x && !(k % x)) puts("1");
		else write(min((!x ? 0 : k / x), (!y ? 0 : k / y))), puts("");
	}
	return 0;
}