hdu4521 小明系列问题——小明序列

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Problem Description

　　大家都知道小明最喜欢研究跟序列有关的问题了，可是也就因为这样，小明几乎已经玩遍各种序列问题了。可怜的小明苦苦地在各大网站上寻找着新的序列问题，可是找来找去都是自己早已研究过的序列。小明想既然找不到，那就自己来发明一个新的序列问题吧！小明想啊想，终于想出了一个新的序列问题，他欣喜若狂，因为是自己想出来的，于是将其新序列问题命名为“小明序列”。

　　提起小明序列，他给出的定义是这样的：

　　①首先定义S为一个有序序列，S={ A1 , A2 , A3 , ... , An }，n为元素个数 ；

　　②然后定义Sub为S中取出的一个子序列，Sub={ Ai1 , Ai2 , Ai3 , ... , Aim }，m为元素个数 ；

　　③其中Sub满足 Ai1 < Ai2 < Ai3 < ... < Aij-1 < Aij < Aij+1 < ... < Aim ；

　　④同时Sub满足对于任意相连的两个Aij-1与Aij都有 ij - ij-1 > d (1 < j <= m， d为给定的整数)；

　　⑤显然满足这样的Sub子序列会有许许多多，而在取出的这些子序列Sub中，元素个数最多的称为“小明序列”(即m最大的一个Sub子序列)。

　　例如：序列S={2,1,3,4} ，其中d=1；

　　可得“小明序列”的m=2。即Sub={2,3}或者{2,4}或者{1,4}都是“小明序列”。

　　当小明发明了“小明序列”那一刻,情绪非常激动，以至于头脑凌乱，于是他想请你来帮他算算在给定的S序列以及整数d的情况下，“小明序列”中的元素需要多少个呢？

 

Input

　　输入数据多组，处理到文件结束;

　　输入的第一行为两个正整数 n 和 d；(1<=n<=10^5 , 0<=d<=10^5)

　　输入的第二行为n个整数A1 , A2 , A3 , ... , An，表示S序列的n个元素。(0<=Ai<=10^5)

 

Output

　　请对每组数据输出“小明序列”中的元素需要多少个，每组测试数据输出一行。

 

Sample Input

2 0
1 2
5 1
3 4 5 1 2
5 2
3 4 5 1 2

 

Sample Output

2
2
1

 

这题可以用(nlogn)的最长上升子序列算法做，经典的nlogn算法是间隔大于0的算法，那么这题就是这个算法的扩展，取出的每个数的下标差大于d。那么我们只要算到i的时候，先记录下已经形成的c[]函数第一个大于等于a[i]的数的下标，然后用dp[j]记录下来，然后在算到i+d的时候，把它更新进去，那么对于每个数j就避免了j-d,j-d+2...j-1的影响。

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<stack>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 10000050
#define maxn 100060
int a[maxn],dp[maxn],c[maxn];
int main()
{
    int n,m,i,j,len,d,maxx;
    while(scanf("%d%d",&n,&d)!=EOF)
    {
        for(i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
            c[i]=inf;
        }
        maxx=1;
        for(i=1;i<=n;i++){
            dp[i]=lower_bound(c+1,c+1+n,a[i])-c;
            maxx=max(maxx,dp[i]);//更新最大值，因为可能这是最后一个数
            j=i-d;
            if(j>=1 && c[dp[j] ]>a[j]){  //把j更新进去，dp[j]是在循环到j时算出来的
                c[dp[j] ]=a[j];
            }
        }
        printf("%d\n",maxx);
    }
    return 0;
}

另一种写法：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <string>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <stack>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ldb;
#define inf 99999999
#define pi acos(-1.0)
#define eps 1e-15
#define maxn 100050
int dp[maxn],a[maxn],c[maxn];

int main()
{
    int n,m,i,j,len,d;
    while(scanf("%d%d",&n,&d)!=EOF)
    {
        for(i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
        }
        len=0;
        int maxx=0;
        for(i=1;i<=n;i++){
            dp[i]=lower_bound(c+1,c+1+len,a[i])-c;
            maxx=max(maxx,dp[i]);
            if(i>d){
                j=i-d;
                if(dp[j]>len){
                    len++;c[len]=a[j];
                }
                else if(c[dp[j] ]>a[j]) {
                    c[dp[j] ]=a[j];
                }
            }
        }
        printf("%d\n",maxx);
    }
    return 0;
}

也可以用线段树做：用线段树维护值为1~temp的最大子序列的长度，然后每次循环到i，先不要立刻更新，等k时间后再更新。附：用线段树来优化算普通最长上升子序列的方法有两种，一种是用线段树维护值为1~temp的最大子序列的长度，然后每次查找小于a[i]的最大子序列的长度，这里保证下标是递增的；另一种是用线段树维护下标为1~index的最长子序列的长度，然后先把输入的数按值从小到大排序，每次循环的时候只要找到线段树中下标为1~a[i].index的最长上升子序列的长就行。但是在这题中第二种方法不能用，因为二级排序之后，编号都打乱了，那么就不能有顺序地把i-k-1循环进来，所以只能用第一种。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <string>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <stack>
using namespace std;
#define maxn 100050
#define inf 999999999
struct node1{
    int num,idx;
    int len;
}a[maxn];
bool cmp(node1 a,node1 b){
    if(a.num==b.num)return a.idx>b.idx;
    return a.num<b.num;
}
struct node{
    int l,r,maxnum;
}b[4*maxn];

void build(int l,int r,int i)
{
    int mid;
    b[i].l=l;b[i].r=r;b[i].maxnum=0;
    if(l==r){return;}
    mid=(l+r)/2;
    build(l,mid,i*2);
    build(mid+1,r,i*2+1);
}
void update(int idx,int num,int i)
{
    int mid;
    if(b[i].l==idx && b[i].r==idx){
        b[i].maxnum=num;
        return;
    }
    mid=(b[i].l+b[i].r)/2;
    if(idx<=mid)update(idx,num,i*2);
    else{
        update(idx,num,i*2+1);
    }
    b[i].maxnum=max(b[i*2].maxnum,b[i*2+1].maxnum);
}
int question(int l,int r,int i)
{
    int mid;
    if(b[i].l==l && b[i].r==r){
        return b[i].maxnum;
    }
    mid=(b[i].l+b[i].r)/2;
    if(r<=mid)return question(l,r,i*2);
    else if(l>mid)return question(l,r,i*2+1);
    else{
        return max(question(l,mid,i*2),question(mid+1,r,i*2+1));
    }
}
int main()
{
    int n,m,i,j,T,d;
    while(scanf("%d%d",&n,&d)!=EOF)
    {
        int temp=0;
        for(i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&a[i].num);
            a[i].num++;
            temp=max(temp,a[i].num);
        }
        build(1,temp,1);

        int maxx=1;
        for(i=1;i<=n;i++){
            if(a[i].num==1)a[i].len=1;
            else a[i].len=question(1,a[i].num-1,1)+1;
            if(i-d>0){
                j=i-d;
                update(a[j].num,a[j].len,1);
            }
            maxx=max(maxx,a[i].len);
        }
        printf("%d\n",maxx);
    }
    return 0;
}