【题解】[SDOI2016]征途

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题目大意：给定序列，将它划分为\(m\)段使得方差最小，输出\(s^2*m^2\)（一个整数）。

\(\text{Solution:}\)

这题我通过题解中的大佬博客学到了一般化方差柿子的写法。

下面来推柿子：

\[s^2=\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}{n}=\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^n x_i^2+n*(\frac{ \sum_{i=1}^n x_i}{n})^2-2\sum_{i=1}^n (x_i* \frac{\sum_{k=1}^n x_k}{n}))
\]

\[s^2=\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2+\frac{(\sum_{i=1}^n x_i)^2}{n}-2 \frac{(\sum_{k=1}^n x_i)^2}{n}}{n}
\]

化简得到:

\[s^2=\frac{(x_1^2+...+x_n^2)-\frac{(\sum_{i=1}^n x_i)^2}{n}}{n}
\]

两边乘以\(n^2\)得到：

\[s^2n^2=n\sum_{i=1}^n x_i^2 -(\sum_{i=1}^n x_i)^2=n\sum_{i=1}^n x_i^2 -sum[n]^2
\]

其中\(sum\)是前缀和。最后这个柿子里面，\(n,sum\)都是常数，最终要处理的就是\(\sum_{i=1}^n x_i^2\).

设\(dp[i][l]\)表示前\(i\)个元素划分\(l\)次的最小平方和，有：

\[dp[i][l]=\min_{j<i}dp[j][l-1]+(sum[i]-sum[j])^2
\]

\[dp[i][l]=dp[j][l-1]+sum[i]^2+sum[j]^2-2sum[i]sum[j]
\]

\[dp[j][l-1]+sum[j]^2=2sum[i]sum[j]+dp[i][l]-sum[i]^2
\]

\[y=dp[j][l-1]+sum[j]^2,k=2sum[i],x=sum[j],b=dp[i][l]-sum[i]^2
\]

最终目的最小化\(dp[i][l]\)这里就是最小化\(b\),观察到\(2sum[i]\)这个斜率单调递增，所以我们维护所有大于这个斜率的决策点，做到\(O(n).\)

对于这个题，还可以滚动数组优化，虽然这里不需要。

几个实现细节：前\(i\)个元素可以划分成\(i\)段，所以每次枚举起点，它的决策起点应该是划分段数\(-1\),开始应该是划分段数对应的元素数。因为再往前往后都会导致不合法。

写\(\text{slope}\)的时候最好用\(\text{long double}\).顺序不要搞反。当然这个题主要难点是推方差柿子……\(\text{WCSL.}\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n,m,a[20010],sum[20010];
int dp[4000][4000],tail,head;
int q[200010];
int X(int x){return sum[x];}
int Y(int x,int p){return dp[x][p-1]+sum[x]*sum[x];}
long double slope(int x,int y,int p){return (long double)(Y(y,p)-Y(x,p))/(X(y)-X(x));}
//dp[i][l]=dp[j][l-1]+(sum[i]-sum[j])^2
signed main(){
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%lld",&a[i]),sum[i]=sum[i-1]+a[i],dp[i][1]=sum[i]*sum[i];
	for(int p=2;p<=m;p++){
		head=tail=1;
		q[head]=p-1;
		for(int i=p;i<=n;++i){
			while(head<tail&&slope(q[head],q[head+1],p)<2.0*sum[i])head++;
			dp[i][p]=dp[q[head]][p-1]+(sum[i]-sum[q[head]])*(sum[i]-sum[q[head]]);
			while(head<tail&&slope(q[tail-1],q[tail],p)>slope(q[tail-1],i,p))tail--;
			q[++tail]=i;
		}
	}
	printf("%lld\n",m*dp[n][m]-sum[n]*sum[n]);
	return 0;
}

附上推柿子时\(\text{word}\)上的东西：

\(Dp[i][l]=dp[j][l-1]+(sum[i]-sum[j])^2\)

\(Dp[i]][l]=dp[j][l-1]+sum[i]^2+sum[j]^2-2sum[i]sum[j]\)

\(Dp[j][l-1]+sum[j]^2=2sum[i]sum[j]+dp[i][l]-sum[i]^2\)

\(Y=dp[j][l-1]+sum[j]^2,k=2sum[i],x=sum[j],b=dp[i][l]-sum[i]^2\)

最小化\(b\)，即可

\(Ans=-sum[n]^2+m*dp[n][m]\)