POJ1095 Trees Made to Order(JAVA)

这题用到了卡特兰数，比较麻烦。关于卡特兰数的基本概念百度一下你就知道。

使用卡特兰数对数组元素进行分组之后，需要具体计算一下要求的是第几组的第几个数，然后向下递归。

首先来看利用卡特兰数分组：

　　从1开始前4个卡特兰数是 C[1]=1, C[2]=2, C[3]=5, C[4]=14  (C[0]也是有定义的，C[0]=1)

　　于是我们把第1个元素归为第1组，第2,3个元素归为第2组，4,5,6,7,8归为第3组，9到22归为第4组，这样分组就完成了

　　这里的每个元素，就对应着题目里的每一棵树。而卡特兰数的下标，即树的节点数

　　所以1个节点的树有1棵，2个节点的树2棵，3个节点的树5棵，4个节点的树14棵

　　比如现在我们求第17棵树在第几组，17-C[1]-C[2]-C[3]=9，因为9<=C[4]，所以第17棵树肯定在4个节点的树的第9个位置

然后是对卡特兰数进行递归拆分：

　　由卡特兰数的性质，C[i]=C[0]*C[i-1] + C[1]*C[i-2] + ... + C[i-2]*C[1] + C[i-1]C[0]

　　我们找到所在组的位置后，就要寻找向下递归的参数。

　　比如我们刚才找到了第17棵树在C[4]的第9个位置，接下来要找这第9个位置的树究竟是什么

　　首先，C[4]=C[0]*C[3] + C[1]*C[2]+C[2]*C[1] +C[3]*C[0]，这相当于把C[4]所含的14棵树再一次进行了分组

　　它使用规模更小的卡特兰数的乘积，对原先的卡特兰数进行分组，把C[4]分成C[0]*C[3]=5，C[1]*C[2]=2，C[2]*C[1]=2，C[3]*C[0]=5，一共4组

　　那么第9棵树在哪呢？9-C[0]*C[3]-C[1]*C[2]=2，因为2<=C[2]*C[1]，所以这第9棵树肯定在C[2]*C[1]那个分组里的第2棵

　　C[2]就是左子树，由2个树节点构成。C[1]是右子树，由1个树节点构成。

　　接下来应该对左右子树进行递归。递归结束条件是C[1]，根据题意，找到C[1]，就可以输出一个X

　　但现在我们还缺少一些递归参数，右子树C[1]没问题，反正就输出X。但右子树是由2个节点构成的树，C[2]=2，所以这样的树有2棵，究竟是哪一棵？

　　这里需要停下来想一想，对于这种卡特兰数形式的树来说，左子树x个节点，右子树y个节点，其内涵是什么？

　　　　-  首先这是一棵由x+y+1个节点构成的树，对吧？

　　　　-  其次这棵树一共有几种变化？C[x]*C[y]种

　　　　　　-  比如x=2，y=3，那么这棵树一共有C[2]*C[3]=2*5=10种变化，具体来看：

　　　　　　　　- 3个节点的右子树有5种变化，每当右子树5种变化结束之后，左子树才变化一次，我们把这样叫一轮变化。一共有C[2]=2轮，每轮5种，共2*5=10种变化　　

　　　　　　　  - 假设我们要找这10种变化里的第6种变化，那么是第几轮的第几种变化？应该是第二轮的第一种，对吧？

　　　　　　      - 如何用公式来表示呢？

　　　　　　　　　　- 我们相当于用右子树的C[3]=5把10种变化分成了2轮，那么求第n种变化是第几轮第几种，公式为：第(n-1)/C[3]+1=轮的第(n-1)%C[3]+1种变化

　　　　　　　　　　- 当n=6，(n-1)/C[3]+1=2，(n-1)%C[3]+1=1，即第2轮第1种

　　　　　　　　　　- 即左子树C[2]里面的第2棵树，右子树C[3]里的第1棵树

　　好了，这样我们已经找齐所有的递归参数，可以对左右子树分别进行递归。

　　贴一下AC代码，JAVA版的：

import java.util.Scanner;

public class POJ1095 {

    static long[] catalan = new long[30];

    static void initCatalan(){
        catalan[0]=catalan[1]=1;
        for(int i=2;i<catalan.length;i++){
            catalan[i] = (4*i-2)*catalan[i-1]/(i+1);
        }
    }

    // n个节点的第k种情况
    static void draw(int n,long k){
        if(n==0)
            return;
        if(n ==1){
            System.out.print("X");
            return;
        }
        // cn:去掉根节点后的节点数
        int cn=n-1,leftn=0,rightn=0;
        long rightc=0,leftk=0,rightk=0;
        for(int i=cn;i>=0;i--){
            long j = catalan[i]*catalan[cn-i];
            if(j<k){
                k-=j;
            }else {
                leftn = cn-i;
                rightn = i;
                rightc = catalan[i];
                break;
            }
        }
        leftk=(k-1)/rightc +1;
        rightk=(k-1)%rightc +1;
        if(leftn>0) {
            System.out.print("(");
            draw(leftn, leftk);
            System.out.print(")");
        }
        System.out.print("X");
        if(rightn>0) {
            System.out.print("(");
            draw(rightn, rightk);
            System.out.print(")");
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        initCatalan();
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        long c = Integer.valueOf(sc.nextLine());
        int i;
        while (c!=0) {
            for(i=1;i<catalan.length;i++){
                if(catalan[i]<c){
                    c-=catalan[i];
                }else
                    break;
            }
            draw(i,c);
            System.out.println();
            c = Integer.valueOf(sc.nextLine());
        }
    }
}