单源最短路——Dijkstra模板

算法思想：

　　类似最小生成树的贪心算法，从起点 v₀ 每次新拓展一个距离最小的点，再以这个点为中间点，更新起点到其他点的距离。

算法实现：

　　需要定义两个一维数组：①vis[ i ] 表示是否从源点到顶点 i 的最短距离。②用d[ i ] 记录源点v₀到顶点 i 的距离值。

　　具体步骤如下：

　　（1）初始化 d[ v₀ ] = 0 ,源点v₀到其他点的距离值 d[ i ] = ∞ 。

　　（2）经过 n 次如下操作，最后得到 v₀ 到 n 个顶点的最短距离：

　　  ①选择一个未标记的点 v 并且 d[ v ] 的值是最小的；

　　  ②标记点 v ,即 vis[ v ] = 1；

　　  ③以 k 为中间点，修改源点 v₀ 到其他为标记的点 j 的距离值 d[ j ]。

算法复杂度：

　　朴素版的复杂度为 O(n²)，因为每次查找未标记的节点需耗时 O(n)，堆优化后的Dijkstra的复杂度可以降为 O( (n+m) log m )。

算法模板：

①朴素的Dijkstra

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Edge//前向星存边
{
    int to;//此边的子节点
    int w;//此边的权值
    int next;//与它最近的父节点一样的边的编号
}edge[];
int head[];//以某点为父节点引出的最后一条边
int cnt=;//边编号
inline void add(int x,int y,int w)//存边
{
    cnt++;
    edge[cnt].to=y;
    edge[cnt].w=w;
    edge[cnt].next=head[x];
    head[x]=cnt;//更新head
}
int main()
{
    bool visit[]={};//是否作为过起点
    long long dis[];//距离
    int n,m,s;
    int x,y,w;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
    for(int i=;i<=n;i++)dis[i]=;
    for(int i=;i<m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);
        add(x,y,w);
    }
    int curr=s;
    dis[s]=;
    long long minn;
    while(!visit[curr])//即搜完整张图
    {
        visit[curr]=true;//已做为过起点
        for(int i=head[curr];i!=;i=edge[i].next)//链式前向星搜边
        {
            if(!visit[edge[i].to]&&dis[edge[i].to]>dis[curr]+edge[i].w)
            dis[edge[i].to]=dis[curr]+edge[i].w;//更新操作
        }
        minn=;
        for(int i=;i<=n;i++)
        {
            if(!visit[i]&&minn>dis[i])//取新的最小值
            {
                minn=dis[i];
                curr=i;
            }
        }//
    }
    for(int i=;i<=n;i++)printf("%lld ",dis[i]);
    return ;
}

②堆优化的Dijkstra

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<deque>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<fstream>
#include<queue>
using namespace std;
#define maxn 100010
priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int> >,greater<pair<int,int> > >q;//定义一个小根堆（优先队列）
int n,m,cnt,w;
int head[maxn],d[maxn],vis[maxn];
//d数组表示点i和起点之间的距离，vis记录点i是否已确定，head是前向星存边~
inline int read()
{
    char kr=;
    char ls;
    for(;ls>''||ls<'';kr=ls,ls=getchar());
    int xs=;
    for(;ls>=''&&ls<='';ls=getchar())
    {
        xs=xs*+ls-;
    }
    if(kr=='-') xs=-xs;
    return xs;
}//快读
struct hh
{
    int nex;
    int to;
    int dis;
}t[maxn<<];//前向星!
inline void add(int nex,int to,int dis)
{
    t[++cnt].to=to;
    t[cnt].dis=dis;
    t[cnt].nex=head[nex];
    head[nex]=cnt;
}//存边！
inline void dijkstra(int w)
{
    memset(d,0x3f3f3f3f,sizeof(d));//初始化
    memset(vis,,sizeof(vis));
    q.push(make_pair(,w));//起点入队（堆）了
    d[w]=;//自己到自己，距离0
    while(!q.empty())//队（堆）不是空的，此时距离起点最小的 点在队首（堆顶）
    {
        int u=q.top().second;//u:找到了！就是这个点！
        q.pop();//出队（堆），去履行更新其他点的光荣义务
        if(vis[u]) continue;//如果这是一个已经确定过的点 ，跳过
        vis[u]=;
        for(int v=head[u];v;v=t[v].nex)//遍历一遍这个点连向的点，更新最短路
        {
            if(d[t[v].to]>d[u]+t[v].dis&&!vis[t[v].to])
            {
                d[t[v].to]=d[u]+t[v].dis;
                q.push(make_pair(d[t[v].to],t[v].to));//被更新了，进去
            }
        }
    }
}
int main()
{
    int xx,yy,ww;
    n=read();m=read();w=read();
    for(int i=;i<=m;i++)
    {
        xx=read();yy=read();ww=read();
        add(xx,yy,ww);//有向图
    }
    dijkstra(w);
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        printf("%d ",d[i]);
    }//输出
return ;
}

巩固：

　　① Dijkstra弱化版

　　② Dijkstra加强版