POJ 1228 (稳定凸包问题)

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首先来了解什么是稳定的凸包。比如有4个点：

这四个点是某个凸包上的部分点，他们连起来后确实还是一个凸包。但是原始的凸包可能不是这样。

比如：

即这四个点构成的凸包不算做“稳定”的。我们发现，当凸包上存在一条边上的点只有端点两个点的时候，这个凸包不是稳定的，因为它可以在这条边外再引入一个点，构成一个新的凸包。但一旦一条边上存在三个点，那么不可能再找到一个点使它扩展成一个新的凸包，否则构成的新多边形将是凹的。

下面是一个典型的稳定凸包：

于是此题的做法就很明确了，就是在给出的点中，找到凸包，并且判断这个凸包是不是每条边至少有三个点。

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cmath>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #define  eps 1e-8
 using namespace std;

 struct  point{
     double x,y;
 };
 point p[],stack[];
 int N,top;
 double multi(point p1, point p2, point p3){   //向量(p1->p2)^(p1->p3)
     return (p2.x - p1.x) * (p3.y - p1.y) - (p2.y - p1.y) * (p3.x - p1.x);
 }
 double dis(point a, point b){
     return sqrt((a.x - b.x) * (a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y));
 }
 int cmp(const void *a, const void *b){    //按极角排序
     point c = *(point *)a;
     point d = *(point *)b;
     double k = multi(p[], c, d);
     if(k <  || (!k && dis(c, p[]) > dis(d, p[])))   return ;
     return -;
 }
 void Convex(){    //凸包的构建  Andrew算法
     for(int i = ; i < N; i++){    //先按x,y坐标排序，找到原点
         point temp;
         if(p[i].y < p[].y || ( p[i].y == p[].y && p[i].x < p[].x)){
             temp = p[i];
             p[i] = p[];
             p[] = temp;
         }
     }
     qsort(p + , N - , sizeof(p[]), cmp);  //再将除原点以外的点按极角排序
     stack[] = p[];         //先将起始的两个点压入栈内,在进行后面的判断
     stack[] = p[];
     top = ;
     for(int i = ; i < N; i++){
         while(top >=  && multi(stack[top - ], stack[top], p[i]) < )top--;         //共线的点也压入凸包内;
         top++;
         stack[top] = p[i];
     }
 }
 bool judge(){    //这个函数是关键
     for(int i=;i<top;i++){
         if((multi(stack[i-],stack[i+],stack[i]))!=&&(multi(stack[i],stack[i+],stack[i+]))!=) //判断每条边是否有至少三个点,即判断i-1,i,i+1这三个点是否在一条直线上或者i,i+1,i+2是否在一条直线上
             return false;
     }
     return true;
 }
 int main(){
     int t;
     cin>>t;
     while(t--){
         cin>>N;
         for(int i=;i<N;i++)
         scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
         if(N<)puts("NO");
         else{
             Convex();
             if(judge())puts("YES");
             else puts("NO");
         }
     }
     return ;
 }

2018-08-23