UVALive 3415 Guardian of Decency（二分图的最大独立集）

题意：老师在选择一些学生做活动时，为避免学生发生暧昧关系，就提出了四个要求。在他眼中，只要任意两个人符合这四个要求之一，就不可能发生暧昧。现在给出n个学生关于这四个要求的信息，求老师可以挑选出的最大学生数量。

分析：

　　1、这里的问题可以抽象成求最大独立集：若两人发生暧昧，则在两人中建边，当四个条件中任意一个成立，则将两个人孤立。老师选择的学生必然是两两之间不会发生暧昧的。

　　公式：最大独立集=顶点总数V-最小点覆盖

　　2、这里涉及到离散数学中一些集合的概念，理解起来对在下实属不易，所以就先记住吧。（定义也只是挑重要的记录下来）

　　独立集：该集合中的点，两两之间不相邻（没有边）（单独一个点就是独立集）。一个图中含顶点数目最多的独立集称为最大独立集。

　　支配集：满足图上任意一个点要么就在集合内，要么也是与集合中的点相邻（顶点集V即是支配集）。一个图中含顶点数最少的支配集称为最小支配集。

　　最小点覆盖：当一个点被选入集合，认为与之相连的边都被覆盖了。在能够覆盖所有边的前提下，顶点数最少的集合称为最小点覆盖。

　　团：与独立集相反，集合中的点两两之间都相邻。一个图中含顶点数最多的团称为最大团。

　性质：

　　最大独立集+最小覆盖集=V

　　最大团=补图的最大独立集

　　最小覆盖集=最大匹配

　　3、这里提到了一个最大独立集的样例：http://my.opera.com/IloveLunamaria/blog/show.dml/810972

　　其中最赞的一个观点：一般的用二分图匹配解决的问题，都是要证明题目条件等价于“匹配”，就是题目条件等价于“选择一些边，使得每个点都只在一条边中。

　　必须明确概念，才去做题目。最大独立集本身与最大匹配无关，是因为其在数学上与最小点覆盖集合互补，又有可以用最大匹配解决最小点覆盖，所以才得出：可以用最大匹配解最大独立集。

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 #include<vector>
 #include<algorithm>
 #define clr(a,m) memset(a,m,sizeof(a))
 #define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
 using namespace std;

 const int MAXN=;

 struct Person{
     int h;
     char sex[],music[],sport[];
 }p[MAXN];

 int n,ans,man,woman;

 vector<int>G[MAXN];
 vector<int>row,col;

 int left[MAXN],right[MAXN],S[MAXN],T[MAXN];

 void init()
 {
     rep(i,,n)
         G[i].clear();
 }

 bool check(int i,int j)
 {
     if(fabs(p[i].h-p[j].h)>)return false;
     if(strcmp(p[i].sex,p[j].sex)==)return false;
     if(strcmp(p[i].music,p[j].music)!=)return false;
     if(strcmp(p[i].sport,p[j].sport)==)return false;
     return true;
 }

 void read()
 {
     init();
     rep(i,,n)
         scanf("%d%s%s%s",&p[i].h,p[i].sex,p[i].music,p[i].sport);
     man=;
     rep(i,,n)
         if(p[i].sex[]=='M'){
             woman=;
             rep(j,,n){
                 if(p[j].sex[]=='F'){
                     if(check(i,j))
                         G[man].push_back(woman);
                     woman++;
                 }
             }
             man++;
         }
 }

 bool match(int u)
 {
     S[u]=true;
     int sz=G[u].size();
     rep(i,,sz-){
         int v=G[u][i];
         if(!T[v]){
             T[v]=true;
             if(!left[v]||match(left[v])){
                 left[v]=u;
                 right[u]=v;
                 return true;
             }
         }
     }
     return false;
 }

 void AP()
 {
     rep(i,,woman)left[i]=;
     rep(i,,man)right[i]=;

     ans=;
     rep(i,,man){
         rep(j,,man)S[j]=;
         rep(j,,woman)T[j]=;
         if(match(i))
             ans++;
     }
 }

 void print()
 {
     printf("%d\n",n-ans);
 }

 int main()
 {
     int T;
     scanf("%d",&T);
     while(T--)
     {
         scanf("%d",&n);
         read();
         AP();
         print();
     }
     return ;
 }