MT【67】窥一斑知全豹

已知$f(x)=ax^2+bx+c$在$x\in\{-1,0,1\}$时满足$|f(x)|\le1$

求证:当$|x|\le1$时$|f(x)|\le\frac{5}{4}$.

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证明：

$$f(x)=\frac{1}{2}f(-1)(x^2-x)-f(0)(x^2-1)+\frac{1}{2}f(1)(x^2+x)$$

$$\le\frac{1}{2}|x|(1-x+x+1)+1-x^2$$

$$\le 1+|x|-x^2\le\frac{5}{4}$$

评：1由局部的几个点可以判断一个区域的性状，此所谓窥一斑而知全豹.

       2反解系数,把$a,b,c$表示成$f(-1),f(0),f(1)$，毕竟后者的信息量较多.