bzoj1036 [ZJOI2008]树的统计Count 树链剖分模板题

[ZJOI2008]树的统计Count

Description

　　一棵树上有n个节点，编号分别为1到n，每个节点都有一个权值w。我们将以下面的形式来要求你对这棵树完成
一些操作： I. CHANGE u t : 把结点u的权值改为t II. QMAX u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的最大权值 I
II. QSUM u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的权值和 注意：从点u到点v的路径上的节点包括u和v本身

Input

　　输入的第一行为一个整数n，表示节点的个数。接下来n – 1行，每行2个整数a和b，表示节点a和节点b之间有
一条边相连。接下来n行，每行一个整数，第i行的整数wi表示节点i的权值。接下来1行，为一个整数q，表示操作
的总数。接下来q行，每行一个操作，以“CHANGE u t”或者“QMAX u v”或者“QSUM u v”的形式给出。
对于100％的数据，保证1<=n<=30000，0<=q<=200000；中途操作中保证每个节点的权值w在-30000到30000之间。

Output

　　对于每个“QMAX”或者“QSUM”的操作，每行输出一个整数表示要求输出的结果。

Sample Input

4

1 2

2 3

4 1

4 2 1 3

12

QMAX 3 4

QMAX 3 3

QMAX 3 2

QMAX 2 3

QSUM 3 4

QSUM 2 1

CHANGE 1 5

QMAX 3 4

CHANGE 3 6

QMAX 3 4

QMAX 2 4

QSUM 3 4

Sample Output

4

1

2

2

10

6

5

6

5

16

solution：

这非常明显，是一个树链剖分的模板题。
树链剖分就是把一棵树分成若干条链，分为轻链和重链，并把点映射到一个线性数列，然后用线段树维护这个序列。
对于点u，size最大的儿子称为重儿子，其他的儿子叫轻儿子。e（u，v）为重边，u到u的轻儿子的边称为轻边。重链是由重边组成的链。

性质1：u的任意轻儿子v，有size[v]<=size[u]/2
证明：假设size[v]>size[u]/2,设u的重儿子为v’.
size[v’]>=size[v]
size[v’]+size[v]>=2size[v]>size[u]矛盾

性质2：从根到任意点的路径中，轻边与重链的数量都小于等于lg n
证明：
1、假设路径只有轻边，每经过一条轻边，size至少减一半，所以最多lg n条轻边
2、每经过一条重边，size不会变大，所以1在有重边的时候仍然成立
3、连续的重边会连成重链，所以重链数<=轻边数+1

对于每一棵子树，优先搜索重儿子，每一个点的dfs序即为该点在线段树上的位置。
显然，一棵子树中的点是一个连续的区间，一条重链上的点也是一个连续的区间。
先一次dfs1算出每一个点的深度deep，重儿子son，子树大小size，父亲fa
再一次dfs2算出每一个点的w和top，w表示该点在线段树上的标号，top表示该点所在的重链的顶点。

 void dfs1(int u){
     siz[u]=;
     son[u]=;
     for(int i=head[u];i;i=Next[i]){
         int v=vet[i];
         if(v!=fa[u]){
             fa[v]=u;
             deep[v]=deep[u]+;
             dfs1(v);
             siz[u]+=siz[v];
             if(siz[son[u]]<siz[v])
                 son[u]=v;
         }
     }
 }
 void dfs2(int u,int tp){
     w[u]=++num;
     top[u]=tp;
     if(son[u])
         dfs2(son[u],tp);
     for(int i=head[u];i;i=Next[i])
         if(vet[i]!=fa[u]&&vet[i]!=son[u])
             dfs2(vet[i],vet[i]);
 }

然后构建线段树

 void insert(int u,int l,int r,int i,int val){
     if(l==r){
         rmax[u]=sum[u]=val;
         return;
     }
     int mid=(l+r)>>;
     if(i<=mid)
         insert(u+u,l,mid,i,val);
     else
         insert(u+u+,mid+,r,i,val);
     sum[u]=sum[u+u]+sum[u+u+];
     rmax[u]=max(rmax[u+u],rmax[u+u+]);
 }

 for(int i=;i<=n+n+n+n+n;i++)
         rmax[i]=-;
     for(int i=;i<=n;i++){
         int x;
         scanf("%d",&x);
         insert(,,n,w[i],x);
     }

然后还有查询和修改
单点修改非常简单，直接用线段树的insert

 void insert(int u,int l,int r,int i,int val){
     if(l==r){
         rmax[u]=sum[u]=val;
         return;
     }
     int mid=(l+r)>>;
     if(i<=mid)
         insert(u+u,l,mid,i,val);
     else
         insert(u+u+,mid+,r,i,val);
     sum[u]=sum[u+u]+sum[u+u+];
     rmax[u]=max(rmax[u+u],rmax[u+u+]);
 }

     scanf("%s",ca);
         int x,y;
         scanf("%d%d",&x,&y);
         if(ca[]=='C'){
             insert(,,n,w[x],y);
         }

查询要分情况考虑
1、top[x]==top[y]
在同一条重链上
直接查询（x，y）区间
2、top[x]!=top[y]
向上跳一步，直到情况1
很不好解释，还是上代码

int query1(int u,int l,int r,int i,int j){
    if(l==i&&r==j)
        return rmax[u];
    int mid=(l+r)>>;
    if(j<=mid)
        return query1(u+u,l,mid,i,j);
    else
    if(i>mid)
        return query1(u+u+,mid+,r,i,j);
    else
        return max(query1(u+u,l,mid,i,mid),query1(u+u+,mid+,r,mid+,j));
}
int query2(int u,int l,int r,int i,int j){
    if(l==i&&r==j)
        return sum[u];
    int mid=(l+r)>>;
    if(j<=mid)
        return query2(u+u,l,mid,i,j);
    else
    if(i>mid)
        return query2(u+u+,mid+,r,i,j);
    else
        return query2(u+u,l,mid,i,mid)+query2(u+u+,mid+,r,mid+,j);
}
while(m--){
        scanf("%s",ca);
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        if(ca[]=='C'){
            insert(,,n,w[x],y);
        }
        else
        if(ca[]=='Q'&&ca[]=='M'){
            ans=-;
            while(top[x]!=top[y]){
                int f1=(top[x]==x?fa[x]:top[x]),f2=(top[y]==y?fa[y]:top[y]);
                if(deep[f1]>=deep[f2]){
                    if(top[x]==x)
                        ans=max(ans,query1(,,n,w[x],w[x]));
                    else
                        ans=max(ans,query1(,,n,w[f1]+,w[x]));
                    x=f1;
                }
                else{
                    if(top[y]==y)
                        ans=max(ans,query1(,,n,w[y],w[y]));
                    else
                        ans=max(ans,query1(,,n,w[f2]+,w[y]));
                    y=f2;
                }
            }
            ans=max(ans,query1(,,n,min(w[x],w[y]),max(w[x],w[y])));
            printf("%d\n",ans);
        }
        else{
            ans=;
            while(top[x]!=top[y]){
                int f1=(top[x]==x?fa[x]:top[x]),f2=(top[y]==y?fa[y]:top[y]);
                if(deep[f1]>=deep[f2]){
                    if(top[x]==x)
                        ans+=query2(,,n,w[x],w[x]);
                    else
                        ans+=query2(,,n,w[f1]+,w[x]);
                    x=f1;
                }
                else{
                    if(top[y]==y)
                        ans+=query2(,,n,w[y],w[y]);
                    else
                        ans+=query2(,,n,w[f2]+,w[y]);
                    y=f2;
                }
            }
            ans+=query2(,,n,min(w[x],w[y]),max(w[x],w[y]));
            printf("%d\n",ans);
        }
    }

完整的ac代码

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 using namespace std;
 int ans,m,n,vet[],head[],Next[],en,fa[],deep[],siz[],son[],top[],w[],num,sum[],rmax[];
 char ca[];
 void addedge(int u,int v){
     vet[++en]=v;
     Next[en]=head[u];
     head[u]=en;
 }
 void dfs1(int u){
     siz[u]=;
     son[u]=;
     for(int i=head[u];i;i=Next[i]){
         int v=vet[i];
         if(v!=fa[u]){
             fa[v]=u;
             deep[v]=deep[u]+;
             dfs1(v);
             siz[u]+=siz[v];
             if(siz[son[u]]<siz[v])
                 son[u]=v;
         }
     }
 }
 void dfs2(int u,int tp){
     w[u]=++num;
     top[u]=tp;
     if(son[u])
         dfs2(son[u],tp);
     for(int i=head[u];i;i=Next[i])
         if(vet[i]!=fa[u]&&vet[i]!=son[u])
             dfs2(vet[i],vet[i]);
 }
 void insert(int u,int l,int r,int i,int val){
     if(l==r){
         rmax[u]=sum[u]=val;
         return;
     }
     int mid=(l+r)>>;
     if(i<=mid)
         insert(u+u,l,mid,i,val);
     else
         insert(u+u+,mid+,r,i,val);
     sum[u]=sum[u+u]+sum[u+u+];
     rmax[u]=max(rmax[u+u],rmax[u+u+]);
 }
 int query1(int u,int l,int r,int i,int j){
     if(l==i&&r==j)
         return rmax[u];
     int mid=(l+r)>>;
     if(j<=mid)
         return query1(u+u,l,mid,i,j);
     else
     if(i>mid)
         return query1(u+u+,mid+,r,i,j);
     else
         return max(query1(u+u,l,mid,i,mid),query1(u+u+,mid+,r,mid+,j));
 }
 int query2(int u,int l,int r,int i,int j){
     if(l==i&&r==j)
         return sum[u];
     int mid=(l+r)>>;
     if(j<=mid)
         return query2(u+u,l,mid,i,j);
     else
     if(i>mid)
         return query2(u+u+,mid+,r,i,j);
     else
         return query2(u+u,l,mid,i,mid)+query2(u+u+,mid+,r,mid+,j);
 }
 int main(){
     scanf("%d",&n);
     for(int i=;i<n;i++){
         int x,y;
         scanf("%d%d",&x,&y);
         addedge(x,y);
         addedge(y,x);
     }
     deep[]=;
     dfs1();
     dfs2(,);
     for(int i=;i<=n+n+n+n+n;i++)
         rmax[i]=-;
     for(int i=;i<=n;i++){
         int x;
         scanf("%d",&x);
         insert(,,n,w[i],x);
     }
     scanf("%d",&m);
     while(m--){
         scanf("%s",ca);
         int x,y;
         scanf("%d%d",&x,&y);
         if(ca[]=='C'){
             insert(,,n,w[x],y);
         }
         else
         if(ca[]=='Q'&&ca[]=='M'){
             ans=-;
             while(top[x]!=top[y]){
                 int f1=(top[x]==x?fa[x]:top[x]),f2=(top[y]==y?fa[y]:top[y]);
                 if(deep[f1]>=deep[f2]){
                     if(top[x]==x)
                         ans=max(ans,query1(,,n,w[x],w[x]));
                     else
                         ans=max(ans,query1(,,n,w[f1]+,w[x]));
                     x=f1;
                 }
                 else{
                     if(top[y]==y)
                         ans=max(ans,query1(,,n,w[y],w[y]));
                     else
                         ans=max(ans,query1(,,n,w[f2]+,w[y]));
                     y=f2;
                 }
             }
             ans=max(ans,query1(,,n,min(w[x],w[y]),max(w[x],w[y])));
             printf("%d\n",ans);
         }
         else{
             ans=;
             while(top[x]!=top[y]){
                 int f1=(top[x]==x?fa[x]:top[x]),f2=(top[y]==y?fa[y]:top[y]);
                 if(deep[f1]>=deep[f2]){
                     if(top[x]==x)
                         ans+=query2(,,n,w[x],w[x]);
                     else
                         ans+=query2(,,n,w[f1]+,w[x]);
                     x=f1;
                 }
                 else{
                     if(top[y]==y)
                         ans+=query2(,,n,w[y],w[y]);
                     else
                         ans+=query2(,,n,w[f2]+,w[y]);
                     y=f2;
                 }
             }
             ans+=query2(,,n,min(w[x],w[y]),max(w[x],w[y]));
             printf("%d\n",ans);
         }
     }
     return ;
 }