清北学堂学习总结day2

今天是钟皓曦大佬讲课，先来膜一波   %%%%%

•数论

　　数论是这次培训的一个重点，那么什么是数论呢？

　　数论是研究整数性质的东西，所以理论上day2不会涉及小数QwQ

（切入正题）

•整除性：

　　设a，b ∈ Z，如果  c ∈ Z 并且 a = b * c，则称 b | a

　　称：

　　　　b为a的因子

　　　　b能整除a

　　　　a能被b整除  / /好像很简单的样子

•质数：

　　只有1和自身作为因子的数叫做质数

　　以 π（x）表示不超过x的素数个数，可以证明出以下结论（1）：

　　　　lim π（x） * ln x / x = 1；

　　　　也就是 lim π（x） =  x / ln x；

　　　　这个结论对于分析算法复杂度有一定帮助；

　　结论（2）：（欧几里得引理）

　　　　设p为质数，若 p | a * b ，则 p | a 或者 p | b。

　　　　这个结论是一个基础结论，广泛用于以下结论的证明；

•整数分解定理----算数基本定理：

　　对于任意大于1的正整数N，N一定能够分解成有限个质数的乘积和，即：

　　N = p_{1^{a1 *}} p₂^{a2 _{* ......}} p_k^ak

　　其中p1<p2<......<pk，a1、a2、a3、...... 、ak均为正整数；

　　下面给出证明：

　　　　首先证明存在性：

　　　　我们可以用反证法，设N为不满足条件的最小的数，N如果是质数就不符合条件（N¹），如果N不是质数还是不符合条件（根据对合数的定义，以及一个叫数学归纳法的玩意儿），证毕；

　　　　再来证明唯一性：

　　　　这里就用到了欧几里得引理，也就是上文所说的 “ 广泛用于以下结论的证明 ” 的结论，我也没有打自己脸

　　　   假设n为不能被分为质数的乘积的自然数之一，且n为最小

       　　因为设n为大于1的合数（如果n为质数，则只有n=n，显然这是质数的乘积） 

　　　　因为每个合数都可以分为两个大于1小于它的两自然数的乘积
　　　　所以n=a×b
　　　　又因为n为不能被分为质数的乘积的自然数中最小的一个
　　　　所以a和b可以分为质数的乘积
　　　　所以n已就可以分为质数的乘积，与假设不符合，故假设错误
　　　　存在性得证。　

•筛素数（这里先不展开讲，有兴趣可以参考我的博文，应该会在一两天内出炉）

•最大公因数：

　　英文缩写：gcd

　　它的定义是：gcd ( a , b ) = max { x ( x | a , x | b ) }

　　既然讲到了最大公约数，就不得不讲讲欧几里得算法啦，就当是自己复习一下了；

　　欧几里得算法的核心思想，就是把gcd（a，b）转化为gcd（b，a % b）

　　下面是证明：

　　　　将a的带余除法式写出来：a = k * b + r（其中a，b，k，r皆为正整数，且r<b），则r = a % b

　　　　假设d是a , b的一个公约数，记作d | a，d | b，即a和b均可以被d整除，而r = a - k * b，两边同时除以d，r / d = a / d - k * b / d = m，由等式右边可知m为整数，因此d | r，因此d也是b，a%b的公约数。

　　　　下面再证d是最大的，假设d是b , a % b的公约数, 则d | b , d | ( a - k * b ) , k 是一个整数。进而d | a（结合上面的证明）.因此d也是a , b的公约数，因此( a , b )和( b , a % b )的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

　　接下来就是最最激动人心的代码实现啦

 #include<cstdio>
 #include<iostream>
 #include<cstdlib>
 using namespace std;
 int gcd(int,int);
 int main()
 {
     int a,b;
     scanf("%d%d",&a,&b);
     printf("%d",gcd(a,b));
     return ;
 }

 int gcd(int a,int b)
 {

     if(a<b) return gcd(b,a); //对a<b时的特判；
     if(b==) return a;
     else return gcd(b,a%b);
 }

•裴蜀定理：

　　给定a，b，c，则ax + by = c有整数解的充要条件为gcd（a，b） | c

　　辣么我们证一下

　　根据唯一分解定理，可以很简单的得出，但如果我们不用呢？

　　先来证必要性：

　　　　a = a'd , b = b'd

　　　　ax + by = ( a'x + b'y )d = c

　　　　得证！

　　接下来是充分性：

　　　　我们可以转化成证明d是最小的能写成ax + by的正整数，设ax + by能表示的最小正整数为s，

　　a / s = q……r , r = a - qs = a - q ( ax + by ) = a ( 1 - qx ) + b ( -qy ) , 0<=r<s => r = 0 => s | d

　　又因为d | ax + by = ( a'x + b'y )d => d | s

　　所以d = s

　　那么我们就可以证明欧几里得引理啦：

　　　　若p | a，搞定！

　　　　否则有gcd( p , a ) = 1 , 则  n , m使得np + ma = 1.所以b = b ( np + ma ) = bnp + mba = bnp + mtp

　　　　得证!

•扩展欧几里得（exgcd）

　　详见我的博客

•中国剩余定理

　　详见我的博客

•逆元

　　如果（a，m） = 1且存在唯一的b使得a * b ≡ 1（mod m）且1 ≤ b < m，则b为a在模m意义下的逆元；

　　这里再介绍2个结论：

　　结论（1）：（费马小定理）

　　　　a^p-1 ≡ 1

　　结论（2）：（欧拉定理）

　　　　a^Φ（m） ≡ 1

　　欧拉定理的证明不再阐述，有兴趣可以参考百度。

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