洛谷P2522 [HAOI2011]Problem b(莫比乌斯反演)

题目描述

对于给出的n个询问，每次求有多少个数对(x,y)，满足a≤x≤b，c≤y≤d，且gcd(x,y) = k，gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。

输入输出格式

输入格式：

第一行一个整数n，接下来n行每行五个整数，分别表示a、b、c、d、k

输出格式：

共n行，每行一个整数表示满足要求的数对(x,y)的个数

输入输出样例

输入样例#1： 复制

2
2 5 1 5 1
1 5 1 5 2

输出样例#1： 复制

14
3

说明

100%的数据满足：1≤n≤50000，1≤a≤b≤50000，1≤c≤d≤50000，1≤k≤50000

莫比乌斯反演

首先你要会求$\sum ^{n}_{i=1}\sum ^{m}_{i=1}\left[ \gcd \left( i,j\right) = 1\right]$

然后不难发现这题可以容斥处理

假设$work(i,j)=\sum ^{n}_{i=1}\sum ^{m}_{i=1}\left[ \gcd \left( i,j\right) = 1\right]$

那么$ans=work(b,d)-work(a-1,d)-work(c-1,b)+work(a-1,c-1)$

// luogu-judger-enable-o2
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=1e6+;
inline int read()
{
    char c=getchar();int x=,f=;
    while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-;c=getchar();}
    while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-'';c=getchar();}
    return x*f;
}
int N,a,b,c,d,k,ans;
int vis[MAXN],prime[MAXN],mu[MAXN],tot=;
void GetMu()
{
    vis[]=;mu[]=;
    for(int i=;i<=N;i++)
    {
        if(!vis[i]) prime[++tot]=i,mu[i]=-;
        for(int j=;j<=tot&&i*prime[j]<=N;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=;
            if(i%prime[j]==) {mu[i*prime[j]]=;break;}
            else mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }

    for(int i=;i<=N;i++)
        mu[i]+=mu[i-];
}
int work(int n,int m)
{
    int limit=min(n/k,m/k),ans=;
    for(int i=,nxt;i<=limit;i=nxt+)
    {
        nxt=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ans+=(mu[nxt]-mu[i-])*(n/(k*i))*(m/(k*i));
    }
    return ans;
}
main()
{
    N=1e5;
    GetMu();
    int QWQ=read();
    while(QWQ--)
    {
        a=read(),b=read(),c=read(),d=read(),k=read();
        ans=work(b,d)-work(a-,d)-work(c-,b)+work(a-,c-);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return ;
}