【XSY2525】Maze 2017多校

Description

考虑一个 N×M 的网格，每个网格要么是空的，要么是障碍物。整个网格四周都是墙壁（即第1行和第n行，第1列和第m列都是墙壁），墙壁有且仅有两处开口，分别代表起点和终点。起点总是在网格左边，终点总是在网格右边。你只能朝4个方向移动：上下左右。数据保证从起点到终点至少有一条路径。

从起点到终点可能有很多条路径，请找出有多少个网格是所有路径的必经网格。

Input

第一行包含两个整数 N,M ，表示网格 N 行 M 列。

接下来 N 行，每行 M 个字符，表示网格。'#'表示障碍物或墙壁，'.'表示空地。

Output

输出文件包含一个整数，必经点的个数。

Sample Input

7 7
#######
....#.#
#.#.###
#.....#
###.#.#
#.#....
#######

Sample Output

5

HINT

样例解释

(2, 1) (2, 2) (4, 4) (6, 6) (6, 7)

数据范围与约定

对于10%的数据， 3≤N,M≤50

对于50%的数据， 3≤N,M≤500

对于所有数据， 3≤N,M≤1000

前置知识——tarjan算法

看一下题。

题目中说了，要求所有路径的必经网格，这种描述好像跟某一种算法要求的结果相同，是什么呢？

——割点。

我们想一下，如果一个点是所有路径的必经网格，那么如果我们去掉这个点会怎么样？

——起点和终点不联通了。

这就很像我们的割点和割边了。

在一个连通图中，如果我们去掉一个点或一条边，使得剩下的图变得有一部分不连通，那么这个点或这条边就被称为割点（边）。

这是不是很像这道题。

那我们就说一下这道题的解法。

我们枚举每一个不为‘#’的点，每个点与他周围不为‘#’的边连边，然后求出这个图的割点数（不算起点和终点），把答案加2（起点和终点），输出。

是不是觉得有点道理？

但是，这样做有很大的错误。

看一下这张图

如图，按照上面这种算法，涂红色的点都应该是答案，但依照题目，只有最上面的红点和起（终）点是答案。

所以，单纯的求割点是不能的到正确答案的。

我们应该在tarjan中加一个判断这段路的末尾是否是终点，我们才把这段路上的割点设为答案。

#include<bits/stdc++.h>
#define N 1000000
using namespace std;
int nct,cnt,number[N],ans,dfn[N],low[N],indew,to[N*20],head[N],nxt[N*20],yes[N],root,n,m,is[1001][1001],f[4][2]={{1,0},{0,1},{-1,0},{0,-1}},ed;
char ch[2001];
bool viss[N];
void adde(int u,int v)
{
	to[++nct]=v;
	nxt[nct]=head[u];
	head[u]=nct;
}
bool tarjan(int u,int fa)
{
	int child=0;
	dfn[u]=low[u]=++indew;
	bool flag=0;//u这条路的末尾是否是终点
	for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
	{
		int v=to[i];
		if(v==fa)
		{
			continue;
		}
		bool fflag=0;//v这条路的末尾是否是终点
		if(!dfn[v])
		{
			if(tarjan(v,u))
			{
				flag=fflag=1;
			}
			if(low[v]>=dfn[u]&&fflag)
			{
				yes[u]=1;//是答案的割点
			}
			low[u]=min(low[v],low[u]);
			child++;
		}else{
			low[u]=min(low[u],dfn[v]);
		}
	}
	if(fa==-1&&child<2)
	{
		yes[u]=0;
	}
	return flag||(u==ed);//回溯
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%s",ch);
		for(int j=0;j<m;j++)
		{
			if(ch[j]=='.')
			{
				is[i][j+1]=1;
			}
		}
	}
	for(int i=2;i<n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			for(int k=0;k<=3;k++)
			{
				int xx=i+f[k][0],yy=j+f[k][1];
				if(!is[xx][yy]||!is[i][j])
				{
					continue;
				}
				if(!viss[(i-1)*m+j])//编号
				{
					number[(i-1)*m+j]=++cnt;
					viss[(i-1)*m+j]=1;
				}
				if(!viss[(xx-1)*m+yy])
				{
					number[(xx-1)*m+yy]=++cnt;
					viss[(xx-1)*m+yy]=1;
				}
				if(j==1&&!root)//求起点
				{
					root=number[(i-1)*m+j];
				}
				if(yy==1&&!root)
				{
					root=number[(xx-1)*m+yy];
				}
				if(j==m&&!ed)//求终点
				{
					ed=number[(i-1)*m+j];
				}
				if(yy==m&&!ed)
				{
					ed=number[(xx-1)*m+yy];
				}
				adde(number[(i-1)*m+j],number[(xx-1)*m+yy]);//连边
			}
		}
	}
	tarjan(root,-1);//tarjan求割点
	for(int i=1;i<=cnt;i++)
	{
		if(yes[i])
		{
			ans++;
		}
	}
	ans+=2;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}
/*
7 7
#######
....#.#
#.#.###
#.....#
###.#.#
#.#....
#######
*/