Maths | 病态问题和条件数

目录

• 1. 概念定义
  • 1.1. 病态/ 良态问题
  • 1.2. 适定/ 非适定问题
  • 1.3. 良态/ 病态矩阵和条件数
• 2. 病态的根源
• 3. 计算条件数的方法
  • 3.1. 与特征值的关系
  • 3.2. 与奇异值的关系
  • 3.3. 自由数计算方法
    • 正规阵条件数
    • 酉矩阵条件数
    • 奇异矩阵条件数
• 4. 解释机器学习中的鲁棒性
• 5. 病态矩阵规避：正则化（Regularizaiton）
• 参考资料

在CV领域大部分问题都是非适定问题（ill-posed problem）。
对于这个“非适定”这一概念，我一直没有探究过。这次看到一篇非常精彩的博客，在这里分享给大家，建议大家查看原文~这里只作笔记，对原文中的错误略有修改。

1. 概念定义

1.1. 病态/ 良态问题

病态问题（ill-conditioned problem）：问题的解关于条件非常敏感。条件（或数据）中即使存在极微妙的噪声，也会对问题的解造成剧烈的变化。
反之，关于条件不敏感的问题，我们称之为良态问题（well-conditioned problem）。

显然，我们能把这两个概念拓展至病态/ 良态系统（算法），“条件”即系统的输入，“问题的解”即系统的输出。
举一些例子：

• 人体体温调控系统是良态的，因为体表温度微小的变化也只会带来微小的体温调控；
• 汽车动力系统是良态的，因为微踩油门时，汽车动力也只会稍作改变。

再延伸至机器学习算法：

• 如果一个算法对噪声非常敏感，即病态的，那么其健壮性（robustness）也不佳（健壮性就是说系统抗扰动的能力）。
• 如果一个算法是过拟合的，那么该算法一定是病态的。

1.2. 适定/ 非适定问题

适定问题（ill-posed problem）的定义来源于1903年哈达玛（Hadamard）的演讲：一个问题是适定的，当其满足以下3个条件：

1. 解存在；
2. 解是唯一的；
3. 解连续依赖于输入（解随着初始条件的改变而连续改变）（The solution depends continuously on the input）。

只要不满足其中一个条件，那么该问题就是非适定的（ill-posed）。

注意：（非）适定问题既可以是良态的，也可以是病态的。

1.3. 良态/ 病态矩阵和条件数

设有线性方程组\(\mathbf{A} \vec{x} = \vec{b}\)，其中\(\mathbf{A}\)是\(n \times n\)方阵，\(\vec{x}\)和\(\vec{b}\)都是\(n \times 1\)列向量。

假设条件\(\vec{x}\)变化了\(\Delta{\vec{x}}\)，解相应地变化了\(\Delta{\vec{b}}\)，即：
\[
\mathbf{A} (\vec{x} + \Delta{\vec{x}}) = \vec{b} + \Delta{\vec{b}}
\]

由于\(\mathbf{A} \vec{x} = \vec{b}\)，因此有\(\mathbf{A} \Delta{\vec{x}} = \Delta{\vec{b}}\)。

假设\(\mathbf{A}\)是非奇异矩阵，即\(\mathbf{A}\)为方阵且存在逆矩阵\(\mathbf{A^{-1}}\)，那么有：
\[
\Delta{\vec{x}} = \mathbf{A^{-1}} \cdot \Delta{\vec{b}}
\]

两边取范数，根据范数的特性有：
\[
\Vert \Delta{\vec{x}} \Vert = \Vert \mathbf{A^{-1}} \cdot \Delta{\vec{b}} \Vert \le \Vert \mathbf{A^{-1}} \Vert \cdot \Vert \Delta{\vec{b}} \Vert
\tag{1-1}\]

对\(\mathbf{A} \vec{x} = \vec{b}\)有相同的操作：
\[
\Vert \mathbf{A} \vec{x} \Vert = \Vert \vec{b} \Vert \le \Vert \mathbf{A} \Vert \cdot \Vert \vec{x} \Vert
\tag{1-2}\]

结合（1-1）、（1-2）式有：
\[
\frac{\Vert \Delta \vec{x} \Vert}{\Vert \vec{x} \Vert} \le \Vert \mathbf{A} \Vert \cdot \Vert \mathbf{A^{-1}} \Vert \cdot \frac{\Vert \Delta \vec{b} \Vert}{\Vert \vec{b} \Vert}
\tag{1-3}\]

有东西！

• \(\frac{\Vert \Delta \vec{x} \Vert}{\Vert \vec{x} \Vert}\)是初始条件的变化率；
• \(\frac{\Vert \Delta \vec{b} \Vert}{\Vert \vec{b} \Vert}\)是解的变化率；

虽然是不等号，但系数\(\Vert \mathbf{A} \Vert \cdot \Vert \mathbf{A^{-1}} \Vert\)还是有意义的。我们称之为矩阵\(\mathbf{A}\)的条件数（condition number），表示为：
\[
k(\mathbf{A}) = \Vert \mathbf{A} \Vert \cdot \Vert \mathbf{A^{-1}} \Vert
\]
式中的范数可以是0范数，无穷范数等，要注意矩阵\(\mathbf{A}\)必须是非奇异矩阵。

由（1-3）可得：

• 当条件数\(k(\mathbf{A})\)较小时，若初始条件发生较小变化，则解的变化也不大；此时的矩阵\(\mathbf{A}\)就是良态矩阵；
• 当条件数\(k(\mathbf{A})\)较大时，即使初始条件发生较小变化，解的变化也会很大；此时的矩阵\(\mathbf{A}\)就是病态矩阵。

因此，条件数是用来衡量系统敏感度的指标，可用于判定病态/ 良态矩阵。

回到前面的注，显然，病态/ 良态的概念与非适定/ 适定的概念是不一致的。

条件数不小于1：
\[
k(\mathbf{A}) = \Vert \mathbf{A} \Vert \cdot \Vert \mathbf{A^{-1}} \Vert \ge \Vert \mathbf{A} \mathbf{A^{-1}} \Vert = \Vert \mathbf{I} \Vert = 1
\]

2. 病态的根源

病态矩阵的较大条件数，并非其病态的根本原因。其根源在于矩阵列向量相关性过强。
病态矩阵，实际上是奇异矩阵和近奇异矩阵的另一个说法。

我们举个例子：
\[
\mathbf{W} = \begin{bmatrix}
1333 & -131 \\
331 & -31 \\
\end{bmatrix},\ \vec{x} = \begin{bmatrix}
1 \\
11 \\
\end{bmatrix}
\]
解为：
\[
\vec{y} = \begin{bmatrix}
-120 \\
-13 \\
\end{bmatrix}
\]

如果我们对输入条件作微调，则结果会变为：
\[
\begin{cases}
\begin{split}
\vec{x_1} &= \begin{bmatrix}
1.0097 \\
11.001 \\
\end{bmatrix} \Longrightarrow \vec{y_1} &= \begin{bmatrix}
-95.2 \\
-6.82 \\
\end{bmatrix} \\
\vec{x_2} &= \begin{bmatrix}
1.0024 \\
11.010 \\
\end{bmatrix} \Longrightarrow \vec y_2 &= \begin{bmatrix}
-106.11 \\
-9.52 \\
\end{bmatrix}
\end{split}
\end{cases}
\]

可见，解变化的程度远远大于输入条件变化的程度。并且，矩阵\(\mathbf{A}\)的列向量之间相关性极强。

3. 计算条件数的方法

虽然我们有条件数的定义，但当矩阵为病态矩阵时，其中的求逆结果往往会有很大误差。因此通常情况下，我们会使用矩阵的特征值或奇异值来计算条件数。

3.1. 与特征值的关系

特征值较大者，变化自由度高，因此会导致解的剧烈变化。这有点类似于病态矩阵的表现。

参见：一篇博文

3.2. 与奇异值的关系

通过SVD分解，解的不稳定性也能用矩阵的性质加以解释。参见：一篇博文

3.3. 自由数计算方法

若我们取二范数，则条件数为矩阵\(\mathbf{A}\)的最大、最小奇异值之商：
\[
k(\mathbf{A}) = \frac{\sigma_{max}{\mathbf{A}}}{\sigma_{min}{\mathbf{A}}}
\]

正规阵条件数

当矩阵\(\mathbf{A}\)为正规阵时，条件数为矩阵\(\mathbf{A}\)的最大、最小特征值的绝对值之商：
\[
k(\mathbf{A}) = \frac{\vert \lambda_{max}{\mathbf{A}} \vert}{\vert \lambda_{min}{\mathbf{A}} \vert}
\]

酉矩阵条件数

当矩阵\(\mathbf{A}\)为酉矩阵时，条件数为1：
\[
k(\mathbf{A}) = 1
\]
即当且仅当\(\mathbf{A}\)为酉矩阵时，条件数取得最小值1。

奇异矩阵条件数

当\(\mathbf{A}\)为奇异矩阵时，其逆矩阵不存在：
\[
k(\mathbf{A}) \to \infty
\]

4. 解释机器学习中的鲁棒性

假设我们要用SGD，用一批\((X,Y)\)样本训练线性模型：
\[
\mathbf{W} \cdot \mathbf{X} = \mathbf{Y}
\]

变形：
\[
\underbrace{\mathbf{X}}_{A} \cdot \underbrace{\mathbf{Y}^{-1}}_{\vec{x}} = \underbrace{\mathbf{W}^{-1}}_{\vec{b}}
\]

由上面所学的知识，若样本\(\mathbf{X}\)中存在大量相关（相似）样本，或矩阵\(\mathbf{X}\)是病态的，那么当标签\(\mathbf{Y}\)中存在噪声时，会导致解\(\mathbf{W}\)出现剧烈波动！

而在实际情况中，我们很难避免数据噪声。因此我们会对样本进行一些预处理，如异常点检测和离群点检测，目的都是为了获得良态的数据矩阵。

5. 病态矩阵规避：正则化（Regularizaiton）

当样本数远小于特征向量维度时，损失函数表示的矩阵往往是稀疏甚至是病态的。

此时我们可以加入正则化项。
正则化项会增加数值解与真实解之间的误差，但增强了稳定性。

参考资料

• 本文主要参考的博客
• 一个超级超级大佬的博客，简洁明了
• 一个数学大佬的博客
• 维基百科：条件数
• 关于正则化的精彩博文
• 维基百科：正则化