CF917D Stranger Trees

给定一个树，对于每个$k=0,1\cdots n-1$，问有多少个生成树与给定树有$k$条边重合。

矩阵树定理+高斯消元

我们答案为$f_k$。假设我们呢将原树上的边权设为$x$，其他的边权设为$1$，那么我们做一次矩阵树定理求出来的东西就是$\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1}f_i x^i$。于是我们找$n$个不同的$x$，然后高斯消元就行了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>

#define ll long long

#define mod 1000000007

#define N 105

using namespace std;

inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

int n;

ll a[N][N],d[N];

ll w[N][N];

ll c[N][N],ans[N];

ll ksm(ll t,ll x) {

    ll ans=1;

    for(;x;x>>=1,t=t*t%mod)

        if(x&1) ans=ans*t%mod;

    return ans;

}

void Gauss(ll a[N][N],int n) {

    for(int i=1;i<=n;i++) {

        for(int j=i+1;j<=n;j++) {

            ll t=ksm(a[i][i],mod-2)*a[j][i]%mod;

            for(int k=i;k<=n+1;k++) a[j][k]=(a[j][k]-t*a[i][k]%mod+mod)%mod;

        }

    }

}

int main() {

    n=Get();

    for(int i=1;i<n;i++) {

        int x=Get(),y=Get();

        a[x][y]=a[y][x]=1;

        d[x]++,d[y]++;

    }

    for(int v=1;v<=n;v++) {

        memset(w,0,sizeof(w));

        for(int i=1;i<=n;i++) {

            for(int j=1;j<=n;j++) {

                if(i==j) w[i][j]=d[i]*v+n-1-d[i];

                else if(a[i][j]) w[i][j]=mod-v;

                else w[i][j]=mod-1;

            }

        }

        Gauss(w,n-1);

        c[v][n+1]=1;

        for(int i=1;i<n;i++) c[v][n+1]=c[v][n+1]*w[i][i]%mod;

        ll now=1;

        for(int i=1;i<=n;i++,now=now*v%mod) c[v][i]=now;

    }

    Gauss(c,n);

    for(int i=n;i>=1;i--) {

        for(int j=i+1;j<=n;j++) {

            c[i][n+1]=(c[i][n+1]-ans[j]*c[i][j]%mod+mod)%mod;

        }

        ans[i]=ksm(c[i][i],mod-2)*c[i][n+1]%mod;

    }

    for(int i=1;i<=n;i++) cout<<ans[i]<<" ";

    return 0;

}

容斥原理+prufer序列

我们的原理就是选定$k$个边与原树重合，这样我们将原树分成了$n-k$个联通块。我们求出此时的生成树方案树，表示至少$k$条边重合的方案树，然后容斥就好了。

具体求法如下：

给定一颗森林，每个联通块的大小是$a_i$，那么这个森林的生成树方案树我们也可以用$prufer$序列来求。将每个连通块视作点，设第$i$个块出现的次数为$t_i$，则一个序列的答案为$\prod a_i^{t_i}$。

我们设所有$prufer$序列为$P$，则我们有一下变换：

\[\begin{align}
\displaystyle
ans&=(\prod_{i=1}^k a_i)\sum_{p\in P}\prod_{i=1}^{k-2}a_{p_i}\\
&=(\prod_{i=1}^k a_i)\prod_{i=1}^{k-2}\sum_{j=1}^ka_j\\
&=(\prod_{i=1}^k a_i)\prod_{i=1}^{k-2}n^{k-2}\\
\end{align}
\]

$\sum_{p\in P}\prod_{i=1}^{k-2}a_{p_i}=\prod_{i=1}^{k-2}\sum_{j=1}^ka_j$就是一个经典的和式变换。

得到上述的结论过后，我们就可以树形$DP$了。设$f_{i,j,k}$表示已$i$为根的子树中，分成了$j$个连通块，$i$所在的连通块的大小为$k$的生成树数量。

代码：

没写