洛谷P4630 [APIO2018]铁人两项 [广义圆方树]

传送门

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又学会了一个新东西好开心呢~

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思路

显然，假如枚举了起始点\(x\)和终止点\(y\)，中转点就必须在它们之间的简单路径上。

不知为何想到了圆方树，可以发现，如果把方点的权值记为双联通分量的大小，圆点权值记为-1，那么\(x \rightarrow y\)的答案就是树上\(x\rightarrow y\)的路径权值和。

直接枚举\(O(n^2)\)，点分治\(O(n\log n)\)，考虑每个点被经过的次数乘上它的权值即可\(O(n)\)。

注意图可能不连通。

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代码

#include<bits/stdc++.h>
clock_t t=clock();
namespace my_std{
    using namespace std;
    #define pii pair<int,int>
    #define fir first
    #define sec second
    #define MP make_pair
    #define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
    #define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)
    #define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
    #define templ template<typename T>
    #define sz 202020
    typedef long long ll;
    typedef double db;
    mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
    templ inline T rnd(T l,T r) {return uniform_int_distribution<T>(l,r)(rng);}
    templ inline bool chkmax(T &x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
    templ inline bool chkmin(T &x,T y){return x>y?x=y,1:0;}
    templ inline void read(T& t)
    {
        t=0;char f=0,ch=getchar();double d=0.1;
        while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
        while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();
        if(ch=='.'){ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();}
        t=(f?-t:t);
    }
    template<typename T,typename... Args>inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
    char __sr[1<<21],__z[20];int __C=-1,__Z=0;
    inline void __Ot(){fwrite(__sr,1,__C+1,stdout),__C=-1;}
    inline void print(register int x)
    {
    	if (__C>1<<20) __Ot(); if (x<0) __sr[++__C]='-',x=-x;
    	while (__z[++__Z]=x%10+48,x/=10);
    	while (__sr[++__C]=__z[__Z],--__Z);__sr[++__C]='\n';
    }
    void file()
    {
        #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("a.in","r",stdin);
        #endif
    }
    inline void chktime()
    {
        #ifndef ONLINE_JUDGE
        cout<<(clock()-t)/1000.0<<'\n';
        #endif
    }
    #ifdef mod
    ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;return ret;}
    ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);}
    #else
    ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ret=ret*x;return ret;}
    #endif
//	inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;

int n,m,N;
ll w[sz];
struct hh{int t,nxt;}edge[sz<<2];
int head[sz],ecnt;
void make_edge(int f,int t)
{
	edge[++ecnt]=(hh){t,head[f]};
	head[f]=ecnt;
	edge[++ecnt]=(hh){f,head[t]};
	head[t]=ecnt;
}

namespace BuildTree
{
	struct hh{int t,nxt;}edge[sz<<1];
	int head[sz],ecnt;
	void make_edge(int f,int t)
	{
		edge[++ecnt]=(hh){t,head[f]};
		head[f]=ecnt;
		edge[++ecnt]=(hh){f,head[t]};
		head[t]=ecnt;
	}
	int dfn[sz],low[sz],cnt;
	stack<int>s;
	bool in[sz];
	#define v edge[i].t
	void tarjan(int x,int fa)
	{
		dfn[x]=low[x]=++cnt;in[x]=1;s.push(x);w[x]=-1;
		go(x) if (v!=fa)
		{
			if (!dfn[v])
			{
				tarjan(v,x),chkmin(low[x],low[v]);
				if (low[v]>=dfn[x])
				{
					++N;w[N]=1;::make_edge(x,N);
					int y;
					do{y=s.top();s.pop();in[y]=0;::make_edge(y,N);++w[N];}while (y!=v);
				}
			}
			else if (in[v]) chkmin(low[x],dfn[v]);
		}
	}
	#undef v
	void init()
	{
		read(n,m);
		int x,y;
		rep(i,1,m) read(x,y),make_edge(x,y);
		N=n;
		rep(i,1,n) if (!dfn[i]) tarjan(i,0);
	}
}

ll ans=0;
int size[sz];
vector<int>rt;
bool vis[sz];
#define v edge[i].t
void dfs1(int x,int fa)
{
	if (x<=n) size[x]=1;
	vis[x]=1;
	go(x) if (v!=fa)
	{
		dfs1(v,x);
		size[x]+=size[v];
	}
}
int S;
void dfs2(int x,int fa)
{
	if (x<=n) size[x]=1; else size[x]=0;
	ll cnt=0;
	go(x) if (v!=fa)
	{
		dfs2(v,x);
		cnt+=1ll*size[x]*size[v];
		size[x]+=size[v];
	}
	cnt+=1ll*size[x]*(S-size[x]);
	ans+=2ll*cnt*w[x];
}
#undef v

int main()
{
	file();
	BuildTree::init();
	rep(i,1,N) if (!vis[i]) dfs1(i,0),rt.push_back(i);
	for (int x:rt) S=size[x],dfs2(x,0);
	cout<<ans;
	return 0;
}