中国剩余定理简析（python实现）

中国剩余定理CRT

正整数m1,m2,...,mk两两互素，对b1,b2,...,bk的同余式组为

\[\begin{cases}
x \equiv b_1\; mod \;m_1\\
x \equiv b_2\; mod \;m_2\\
\quad\quad\vdots\\
x \equiv b_k\; mod \;m_k\\
\end{cases}
\]

在mod M

\[M = \prod_{i = 1}^{k}m_i
\]

的情况下有唯一解

\[x = (\sum_{i=1}^k b_iM_iM'_i)\;mod\;M
\]

其中

\[M_i = \frac{M}{m_i}
\]

\[M'_i = M_i^{-1}\;mod\;m_i
\]

python代码实现：

import gmpy2

def crt(b,m):
    #判断是否互素
    for i in range(len(m)):
        for j in range(i+1,len(m)):
            if gmpy2.gcd(m[i],m[j]) != 1:
                print("m中含有不是互余的数")
                return -1
    #乘积
    M = 1
    for i in range(len(m)):
        M *= m[i]
    #求M/mi
    Mm = []
    for i in range(len(m)):
        Mm.append(M // m[i])
    #求Mm[i]的乘法逆元
    Mm_ = []
    for i in range(len(m)):
        _,a,_ = gmpy2.gcdext(Mm[i],m[i])
        Mm_.append(int(a % m[i]))
    #求MiM'ibi的累加
    y = 0
    for i in range(len(m)):
        print(Mm[i] * Mm_[i] * b[i])
        y += (Mm[i] * Mm_[i] * b[i])
    y = y % M
    return y