BGV方案

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SIMD技术

中国剩余定理

在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？”这个问题称为“孙子问题”，该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。

简单点说就是求x，使其满足：

我们的主要求解方法分为三步：

1. 找出三个数：从3和5的公倍数中找出被7除余1的最小数15，从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最小数21，最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数70。
2. 用15乘以2（2为最终结果除以7的余数），用21乘以3（3为最终结果除以5的余数），同理，用70乘以2（2为最终结果除以3的余数），然后把三个乘积相加（15*2+21*3+70*2）得到和233。
3. 用233除以3，5，7三个数的最小公倍数105，得到余数23，即233%105=23。这个余数23就是符合条件的最小数。

算法分析

我们将“孙子问题”拆分成几个简单的小问题，从零开始，试图揣测古人是如何推导出这个解法的。

首先，我们假设n1是满足除以3余2的一个数，比如2，5，8等等，也就是满足3*k+2（k>=0）的一个任意数。同样，我们假设n2是满足除以5余3的一个数，n3是满足除以7余2的一个数。

有了前面的假设，我们先从n1这个角度出发，已知n1满足除以3余2，能不能使得 n1+n2 的和仍然满足除以3余2？进而使得n1+n2+n3的和仍然满足除以3余2？

这就牵涉到一个最基本数学定理，如果有a%b=c,则有(a+kb)%b=c(k为非零整数)，换句话说，如果一个除法运算的余数为c，那么被除数与k倍的除数相加（或相减）的和（差）再与除数相除，余数不变。这个是很好证明的。

以此定理为依据，如果n2是3的倍数，n1+n2就依然满足除以3余2。同理，如果n3也是3的倍数，那么n1+n2+n3的和就满足除以3余2。这是从n1的角度考虑的，再从n2，n3的角度出发，我们可推导出以下三点：

1. 为使n1+n2+n3的和满足除以3余2，n2和n3必须是3的倍数。
2. 为使n1+n2+n3的和满足除以5余3，n1和n3必须是5的倍数。
3. 为使n1+n2+n3的和满足除以7余2，n1和n2必须是7的倍数。

因此，为使n1+n2+n3的和作为“孙子问题”的一个最终解，需满足：

1. n1除以3余2，且是5和7的公倍数。
2. n2除以5余3，且是3和7的公倍数。
3. n3除以7余2，且是3和5的公倍数。

所以，孙子问题解法的本质是从5和7的公倍数中找一个除以3余2的数n1，从3和7的公倍数中找一个除以5余3的数n2，从3和5的公倍数中找一个除以7余2的数n3，再将三个数相加得到解。在求n1，n2，n3时又用了一个小技巧，以n1为例，并非从5和7的公倍数中直接找一个除以3余2的数，而是先找一个除以3余1的数，再乘以2。

这里又有一个数学公式，如果a%b=c，那么（a*k）%b=a%b+a%b+…+a%b=c+c+…+c=kc（k>0）,也就是说，如果一个除法的余数为c，那么被除数的k倍与除数相除的余数为kc。展开式中已证明。

最后，我们还要清楚一点，n1+n2+n3只是问题的一个解，并不是最小的解。如何得到最小解？我们只需要从中最大限度的减掉3，5，7的公倍数105即可。道理就是前面讲过的定理“如果a%b=c,则有(a-kb)%b=c”。所以（n1+n2+n3）%105就是最终的最小解。

总结

   经过分析发现，中国剩余定理的孙子解法就是以下两个基本数学定理的灵活运用：

1. 如果 a%b=c , 则有 (a+kb)%b=c (k为非零整数)。
2. 如果 a%b=c，那么 (a*k)%b=kc (k为大于零的整数)。

扩展算法

设正整数两两互素，则同余方程组

有整数解。并且在模下的解是唯一的，解为

其中，而为模的逆元。

代码：

int CRT(int a[],int m[],int n)
{
    int M = 1;
    int ans = 0;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        M *= m[i];
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        int x, y;
        int Mi = M / m[i];
        extend_Euclid(Mi, m[i], x, y);
        ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M;
    }
    if(ans < 0) ans += M;
    return ans;
}

多项式中国剩余定理

求乘法逆元

有两种方法：

1、费马小定理

该方法速度非常快

求逆元代码：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main()
{
	int m, n, x;
    puts("          基于费马定理求逆元\n");
    puts("       对m * x = 1 mod n，求x\n");
    printf("请输入m=");
    scanf("%d", &m);
    printf("请输入n=");
    scanf("%d", &n);
	x = (int)pow(m, n - 2) % n;
	printf("x=%d\n", x);
	system("pause");
	return 0;
}

2、扩展欧几里得

扩展欧几里得算法实现：

#include<iostream>
using namespace std;

//递归求解
int exgcd(int a, int b, int& x, int& y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int gcd = exgcd(b, a % b, x, y);
    int x2 = x, y2 = y;
    x = y2;
    y = x2 - (a / b) * y2;
    return gcd;
}

//非递归求解
int exgcd01(int a, int b, int& x, int& y)
{
    int x1, y1, x0, y0;
    x0 = 1; y0 = 0;
    x1 = 0; y1 = 1;
    x = 0; y = 1;
    int r = a % b;
    int q = (a - r) / b;
    while (r)
    {
        x = x0 - q * x1; y = y0 - q * y1;
        x0 = x1; y0 = y1;
        x1 = x; y1 = y;
        a = b; b = r; r = a % b;
        q = (a - r) / b;
    }
    return b;
}

int main()
{
    int x, y, a, b,option;
    cout << "扩展欧几里得算法" << endl;
    cout << endl << "请选择：1、递归求解；2、非递归求解" << endl;
    cin >> option;
    if (option == 1)
    {
        cout << "请输入a和b:" << endl;
        cin >> a >> b;
        cout << "a和b的最大公约数:" << endl;
        cout << exgcd(a, b, x, y) << endl;
        cout << "ax+by=gcd(a,b) 的一组解是:" << endl;
        cout << x << " " << y << endl;
    }
    else if (option == 2)
    {
        cout << "请输入a和b:" << endl;
        cin >> a >> b;
        cout << "a和b的最大公约数:" << endl;
        cout << exgcd01(a, b, x, y) << endl;
        cout << "ax+by=gcd(a,b) 的一组解是:" << endl;
        cout << x << " " << y << endl;
    }
    else
        cout << "请重新输入！" << endl;
    return 0;
}

求逆元算法实现：请参考 求逆元

参考

1、云外包密文查询和计算研究-全韩彧

2、中国剩余定理（孙子定理）

3、扩展欧几里得算法

4、算法学习 之 欧几里得算法和扩展欧几里得算法（二）

5、POJ1006: 中国剩余定理的完美演绎

6、多项式的 “中国剩余定理”-包志超