P6097-[模板]子集卷积

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6097

---

题目大意

长度为\(2^n\)的序列\(a,b\)求一个\(c\)满足

\[c_k=\sum_{i|j=k,i\&j=\varnothing}a_i\times b_j
\]

---

解题思路

从炫酷反演魔术过来的，顺便写掉这题

简单的说就是求\(k\)的所有子集和其补集的乘积和。

只有\(i|j=k\)的话就是普通的\(\text{FWT}\)了，但是还有\(i\&j=\varnothing\)这个东西。

一个巧妙的想法是把这个条件转换为\(|i|+|j|=|i\cup j|\)，显然两个之间是充要的。

然后可以把\(a_i\)存在\(f_{ct(i),i}\)这个位置，其中\(ct(i)\)表示\(i\)中\(1\)的个数。同理\(b_i\)存在\(g_{ct(i),i}\)这个位置。

然后就有卷积

\[h_{a,b}=\sum_{i+j=a,x|y=b}f_{i,x}\times g_{j,y}
\]

这个先暴力\(\text{FWT}\)了\(f,g\)然后暴力卷积然后\(\text{IFWT}\)回去就好了。

时间复杂度\(O(n^22^n)\)，不能全开\(\text{long long}\)不然会\(\text T\)的

---

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=21,P=1e9+9;
int n,k,ct[1<<N],f[N][1<<N],g[N][1<<N],h[N][1<<N];
void FWT(int *f,int op){
    for(int p=2;p<=n;p<<=1)
        for(int k=0,len=p>>1;k<n;k+=p)
            for(int i=k;i<k+len;i++)
                (f[i+len]+=(f[i]*op+P)%P)%=P;
    return;
}
signed main()
{
    // printf("%d",sizeof(f)>>20);
    scanf("%d",&k);n=(1<<k);
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(i)ct[i]=ct[i-(i&-i)]+1;
        scanf("%d",&f[ct[i]][i]);
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&g[ct[i]][i]);
    for(int i=0;i<=k;i++)
        FWT(f[i],1),FWT(g[i],1);
    for(int i=0;i<=k;i++)
        for(int j=0;j<=i;j++)
            for(int x=0;x<n;x++)
                (h[i][x]+=1ll*f[j][x]*g[i-j][x]%P)%=P;
    for(int i=0;i<=k;i++)FWT(h[i],-1);
    for(int i=0;i<n;i++)
        printf("%d ",h[ct[i]][i]);
    return 0;
}