Codeforces 1220D 思维 数学 二分图基础

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题意

• 我们有一个含多个正整数的集合B，然后我们将所有的整数，也就是Z集合内所有元素，都当做顶点

• 两个整数 \(i , j\) 能建立无向边，当且仅当 \(|i - j|\) 这个数属于B集合

• 要求我们从B中删去最少的数，来使得Z集合上建立的图为二分图

思路

• 首先要知道离散数学的基础知识，一个简单图是二分图，当且仅当其中没有奇环。

• 我们先假设B中只有一个数x，那么显然在Z中，0与x可以建边，然后x又可以和x * 2建边，以此类推。这是一条链

• 那么如果B中还有一个y呢，那显然还会生成一条链也就是 \(y * n(n \in N)\) 还会出现 \(nx + my\) 等，那环在哪呢，其实我们显然能知道的一个就是 \(0 - lcm(x, y) - 0\) : 0加上n个x之后到达\(lcm(x, y)\)，然后减去m个y之后到达0.

• 1.我们可以发现，如果x，y一奇一偶的话，那么n和m必然一奇一偶，那么这个环就是奇环。所以，B中不能同时存在奇数与偶数

• 2.我们还能发现，如果x，y都是奇数，那么就不可能出现奇环，因为从一个奇数到达另一个奇数必然相差为偶数，而要凑够这个偶数，而且我们手里只有奇数，那就需要偶数个奇数，这样一来，环的长度只能是偶数

• 3.我们还能发现，如果把上面的 \(x，y\) 换成 \(nx，ny (n \in N)\)，那么最终形成的图的形状是一样的。

• 前两个发现是很重要的，而第三个发现是将特殊情况扩展到一般情况的理论基础：

  • 这样我们对于两个偶数x , y怎么判断有没有奇环？

  • 我们不断地同时给x，y除以2，由发现3可知，操作后x，y形成的图形状不变。

  • 那么最终x，y会变成“一奇一偶”或者”两个奇数“的情况，这样就可以判断了

  • 这样我们就得到了性质4：x，y的质因子中，2的幂次相同的话，x，y就能变成”两个奇数“，不会形成奇环，反之则会

• 我们发现，性质4就是一般情况下的理论，囊括了对发现1 2 3的解释。我们可以马上根据性质4来写出代码，也就是计算B中每个数的2因子的幂次，分为m个集合，每个集合内元素的2因子的幂次相同，然后我们保留其中最大的那个集合，然后删除其他数字即可。

AC代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

const int N = 200000;

int n;
long long bb[N + 5];
int col[N + 5] = {0};
vector<int> q2[105];

int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		scanf("%lld", &bb[i]);
	}
	int mx = 0, mi = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		long long p = bb[i];
		while (p % 2 == 0)
		{
			++col[i];
			p /= 2;
		}
		q2[col[i]].push_back(i);
	}
	for (int i = 0; i <= 64; ++i)
	{
		if (q2[i].size() > mx)
		{
			mx = q2[i].size();
			mi = i;
		}
	}
	printf("%d\n", n - mx);
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		if (col[i] != mi)
		{
			printf("%lld ", bb[i]);
		}
	}
	return 0;
}