递归 & 分治算法深度理解

首先简单阐述一下递归，分治算法，动态规划，贪心算法这几个东西的区别和联系，心里有个印象就好。

递归是一种编程技巧，一种解决问题的思维方式；分治算法和动态规划很大程度上是递归思想基础上的（虽然实现动态规划大都不是递归了，但是我们要注重过程和思想），解决更具体问题的两类算法思想；贪心算法是动态规划算法的一个子集，可以更高效解决一部分更特殊的问题。

分治算法将在这节讲解，以最经典的归并排序为例，它把待排序数组不断二分为规模更小的子问题处理，这就是“分而治之”这个词的由来。显然，排序问题分解出的子问题是不重复的，如果有的问题分解后的子问题有重复的（重叠子问题性质），那么这就交给动态规划算法去解决！

递归详解

介绍分治之前，首先要弄清楚递归这个概念。

递归的基本思想是某个函数直接或者间接地调用自身，这样就把原问题的求解转换为许多性质相同但是规模更小的子问题。我们只需要关注如何把原问题划分成符合条件的子问题，而不需要去研究这个子问题是如何被解决的。递归和枚举的区别在于：枚举是横向地把问题划分，然后依次求解子问题，而递归是把问题逐级分解，是纵向的拆分。

以下会举例说明我对递归的一点理解， 如果你不想看下去了，请记住这几个问题怎么回答：

1. 如何给一堆数字排序？答：分成两半，先排左半边再排右半边，最后合并就行了，至于怎么排左边和右边，请重新阅读这句话。
2. 孙悟空身上有多少根毛？答：一根毛加剩下的毛。
3. 你今年几岁？答：去年的岁数加一岁，1999 年我出生。

递归代码最重要的两个特征：结束条件和自我调用。自我调用是在解决子问题，而结束条件定义了最简子问题的答案。

int func(传入数值) {
  if (终止条件) return 最小子问题解;
  return func(缩小规模);
}

其实仔细想想， 递归运用最成功的是什么？我认为是数学归纳法。 我们高中都学过数学归纳法，使用场景大概是：我们推不出来某个求和公式，但是我们试了几个比较小的数，似乎发现了一点规律，然后猜想了一个公式，看起来应该是正确答案。但是数学是很严谨的，你哪怕穷举了一万个数都是正确的，但是第一万零一个数正确吗？这就要数学归纳法发挥神威了，可以假设我们猜想的这个公式在第 k 个数时成立，如果证明在第 k + 1 时也成立，那么我们猜想的这个公式就是正确的。

那么数学归纳法和递归有什么联系？我们刚才说了，递归代码必须要有结束条件，如果没有的话就会进入无穷无尽的自我调用，直到内存耗尽。而数学证明的难度在于，你可以尝试有穷种情况，但是难以将你的结论延伸到无穷大。这里就可以看出联系了——无穷。

递归代码的精髓在于调用自身去解决规模更小的子问题，直到到达结束条件；而数学归纳法之所以有用，就在于不断把我们的猜测向上加一，扩大结论的规模，没有结束条件，从而把结论延伸到无穷无尽，也就完成了猜测正确性的证明。

为什么要写递归

首先为了训练逆向思考的能力。递推的思维是正常人的思维，总是看着眼前的问题思考对策，解决问题是将来时；递归的思维，逼迫我们倒着思考，看到问题的尽头，把解决问题的过程看做过去时。

第二，练习分析问题的结构，当问题可以被分解成相同结构的小问题时，你能敏锐发现这个特点，进而高效解决问题。

第三，跳出细节，从整体上看问题。再说说归并排序，其实可以不用递归来划分左右区域的，但是代价就是代码极其难以理解，大概看一下代码（归并排序在后面讲，这里大致看懂意思就行，体会递归的妙处）：

void sort(Comparable[] a){
    int N = a.length;
    // 这么复杂，是对排序的不尊重。我拒绝研究这样的代码。
    for (int sz = 1; sz < N; sz = sz + sz)
        for (int lo = 0; lo < N - sz; lo += sz + sz)
            merge(a, lo, lo + sz - 1, Math.min(lo + sz + sz - 1, N - 1));
}

/* 我还是选择递归，简单，漂亮 */
void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) {
    if (lo >= hi) return;
    int mid = lo + (hi - lo) / 2;
    sort(a, lo, mid);
    sort(a, mid + 1, hi);
    merge(a, lo, mid, hi);
}

看起来简洁漂亮是一方面，关键是 可解释性很强 ：把左半边排序，把右半边排序，最后合并两边。而非递归版本看起来不知所云，充斥着各种难以理解的边界计算细节，特别容易出 bug 且难以调试，人生苦短，我更倾向于递归版本。

显然有时候递归处理是高效的，比如归并排序， 有时候是低效的 ，比如数孙悟空身上的毛，因为堆栈会消耗额外空间，而简单的递推不会消耗空间。比如这个例子，给一个链表头，计算它的长度：

/* 典型的递推遍历框架 */
public int size(Node head) {
    int size = 0;
    for (Node p = head; p != null; p = p.next) size++;
    return size;
}
/* 我偏要递归，万物皆递归 */
public int size(Node head) {
    if (head == null) return 0;
    return size(head.next) + 1;
}

写递归的技巧

我的一点心得是： 明白一个函数的作用并相信它能完成这个任务，千万不要试图跳进细节。 千万不要跳进这个函数里面企图探究更多细节，否则就会陷入无穷的细节无法自拔，人脑能压几个栈啊。

先举个最简单的例子：遍历二叉树。

void traverse(TreeNode* root) {
  if (root == nullptr) return;
  traverse(root->left);
  traverse(root->right);
}

这几行代码就足以扫荡任何一棵二叉树了。我想说的是，对于递归函数 traverse(root) ，我们只要相信：给它一个根节点 root ，它就能遍历这棵树，因为写这个函数不就是为了这个目的吗？所以我们只需要把这个节点的左右节点再甩给这个函数就行了，因为我相信它能完成任务的。那么遍历一棵 N 叉数呢？太简单了好吧，和二叉树一模一样啊。

void traverse(TreeNode* root) {
  if (root == nullptr) return;
  for (child : root->children) traverse(child);
}

至于遍历的什么前、中、后序，那都是显而易见的，对于 N 叉树，显然没有中序遍历。

以下 详解 LeetCode 的一道题来说明 ：给一棵二叉树，和一个目标值，节点上的值有正有负，返回树中和等于目标值的路径条数，让你编写 pathSum 函数：

/* 来源于 LeetCode PathSum III： https://leetcode.com/problems/path-sum-iii/ */
root = [10,5,-3,3,2,null,11,3,-2,null,1], sum = 8

      10
     /  \
    5   -3
   / \    \
  3   2   11
 / \   \
3  -2   1

Return 3. The paths that sum to 8 are:

1.  5 -> 3
2.  5 -> 2 -> 1
3. -3 -> 11

/* 看不懂没关系，底下有更详细的分析版本，这里突出体现递归的简洁优美 */
int pathSum(TreeNode root, int sum) {
  if (root == null) return 0;
  return count(root, sum) + pathSum(root.left, sum) + pathSum(root.right, sum);
}
int count(TreeNode node, int sum) {
  if (node == null) return 0;
  return (node.val == sum) + count(node.left, sum - node.val) +
         count(node.right, sum - node.val);
}

题目看起来很复杂吧，不过代码却极其简洁，这就是递归的魅力。我来简单总结这个问题的 解决过程 ：

首先明确，递归求解树的问题必然是要遍历整棵树的，所以 二叉树的遍历框架 （分别对左右孩子递归调用函数本身）必然要出现在主函数 pathSum 中。那么对于每个节点，它们应该干什么呢？它们应该看看，自己和脚底下的小弟们包含多少条符合条件的路径。好了，这道题就结束了。

按照前面说的技巧，根据刚才的分析来定义清楚每个递归函数应该做的事：

PathSum 函数：给它一个节点和一个目标值，它返回以这个节点为根的树中，和为目标值的路径总数。

count 函数：给它一个节点和一个目标值，它返回以这个节点为根的树中，能凑出几个以该节点为路径开头，和为目标值的路径总数。

/* 有了以上铺垫，详细注释一下代码 */
int pathSum(TreeNode root, int sum) {
  if (root == null) return 0;
  int pathImLeading = count(root, sum);  // 自己为开头的路径数
  int leftPathSum = pathSum(root.left, sum);  // 左边路径总数（相信他能算出来）
  int rightPathSum =
      pathSum(root.right, sum);  // 右边路径总数（相信他能算出来）
  return leftPathSum + rightPathSum + pathImLeading;
}
int count(TreeNode node, int sum) {
  if (node == null) return 0;
  // 我自己能不能独当一面，作为一条单独的路径呢？
  int isMe = (node.val == sum) ? 1 : 0;
  // 左边的小老弟，你那边能凑几个 sum - node.val 呀？
  int leftBrother = count(node.left, sum - node.val);
  // 右边的小老弟，你那边能凑几个 sum - node.val 呀？
  int rightBrother = count(node.right, sum - node.val);
  return isMe + leftBrother + rightBrother;  // 我这能凑这么多个
}

还是那句话， 明白每个函数能做的事，并相信它们能够完成。

总结下，PathSum 函数提供的二叉树遍历框架，在遍历中对每个节点调用 count 函数，看出先序遍历了吗（这道题什么序都是一样的）；count 函数也是一个二叉树遍历，用于寻找以该节点开头的目标值路径。好好体会吧！

LeetCode 有递归专题练习， 点这里去做题

递归优化

比较 naive 的递归实现可能递归次数太多，容易超时。

怎么优化呢？可以使用 搜索优化 和 记忆化搜索 。

分治算法

归并排序 ，典型的分治算法；分治，典型的递归结构。

分治算法可以分三步走：分解 -> 解决 -> 合并

1. 分解原问题为结构相同的子问题。
2. 分解到某个容易求解的边界之后，进行递归求解。
3. 将子问题的解合并成原问题的解。

归并排序，我们就叫这个函数 merge_sort 吧，按照我们上面说的，要明确该函数的职责，即 对传入的一个数组排序 。OK，那么这个问题能不能分解呢？当然可以！给一个数组排序，不就等于给该数组的两半分别排序，然后合并就完事了。

void merge_sort(一个数组) {
  if (可以很容易处理) return;
  merge_sort(左半个数组);
  merge_sort(右半个数组);
  merge(左半个数组, 右半个数组);
}

好了，这个算法也就这样了，完全没有任何难度。记住之前说的，相信函数的能力，传给它半个数组，那么这半个数组就已经被排好了。而且你会发现这不就是个二叉树遍历模板吗？为什么是后序遍历？因为我们分治算法的套路是 分解 -> 解决（触底）-> 合并（回溯） 啊，先左右分解，再处理合并，回溯就是在退栈，就相当于后序遍历了。至于 merge 函数，参考两个有序链表的合并，简直一模一样。

LeetCode 上有分治算法的专项练习， 点这里去做题

参考资料与注释

1. labuladong 的算法小抄 - 递归详解