HDU5407 CRB and Candies 【LCM递推】

HDU5407 CRB and Candies

题意：

计算\(LCM(C(n,0),C(n,1),C(n,2),\cdots,C(n,n-1),C(n,n))\)

\(n\le 10^6\)

题解：

规律：

\(LCM(C(n,0),C(n,1),C(n,2),\cdots,C(n,n-1),C(n,n)) = \frac{LCM(1,2,3,\cdots,,n-1,n,n+1)}{n+1}\)

令\(g(n)=LCM(C(n,0),C(n,1),C(n,2),\cdots,C(n,n-1),C(n,n))\)

\(f(n)=LCM(1,2,3,\cdots,,n-1,n)\)

则\(g(n)=\frac{f(n+1)}{n+1}\)

所以问题转化为求解\(f(n)\)

我们只需要知道每一个质数的最高次项是多少即可

如果\(n=p^k\)，且我们已经知道了\(f(n-1)\)那么，到\(n\)的时候\(p\)的最高次项必然比之前大了\(1\)，所以\(f(n)=f(n-1)*p\)，否则\(f(n)=f(n-1)\)

\(f(n)\)可以递推得到

\[f(n) = \begin{cases} f(n-1)*p & n=p^k \\ f(n-1) & otherwise \end{cases}
\]

然后就可以计算\(g(n)\)了

//#pragma GCC optimize("O3")
//#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
function<void(void)> ____ = [](){ios_base::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);};
typedef long long int LL;
const int MAXN = 1e6+7;
const int MOD = 1e9+7;
LL f[MAXN],inv[MAXN],p[MAXN];
bool npm[MAXN];
vector<LL> prime;
void preprocess(){
    for(int i = 2; i < MAXN; i++){
        if(!npm[i]) prime.push_back(i);
        for(int j = 0; j < (int)prime.size(); j++){
            if(i*prime[j]>=MAXN) break;
            npm[i*prime[j]] = true;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
    fill(begin(p),end(p),1);
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2; i < MAXN; i++) inv[i] = (MOD-MOD/i) * inv[MOD%i] % MOD;
    for(LL pm : prime) for(LL x = pm; x < MAXN; x *= pm) p[x] = pm;
    f[1] = 1;
    for(int i = 2; i < MAXN; i++) f[i] = f[i-1] * p[i] % MOD;
}
int main(){
    preprocess();
    int T;
    for(scanf("%d",&T); T; T--){
        int n; scanf("%d",&n);
        printf("%I64d\n",f[n+1]*inv[n+1]%MOD);
    }
    return 0;
}