Codeforces Round #688(Div 2) D. Checkpoints

思路

第一步，先推导1,0,0,……，0，就是1后面跟了n-1个0的时候

所需要的期望步数

封闭式推导

\(f_n\)代表从n关开始直接通关需要的步数的期望

n为1的情况，即就只有一个1

\(f_1=\cfrac{1}{2} \times 1+\cfrac{1}{2} \times (f_1+1)\)

整理得\(f_1=2\)

第一关时，你有一半的概率通关，有一半的概率回到自身重新开始

n为2的情况，1,0

\(f_1=\cfrac{1}{2} \times 1+\cfrac{1}{2} \times (f_2+1)\)

\(f_2=\cfrac{1}{2} \times 1+\cfrac{1}{2} \times (f_1+1)\)

整理得\(f_1=6\)

第一关时，你有一半的概率到达第二关，有一半的概率回到自身重新开始

第二关时，你有一半的概率通关，有一半的概率回到第一关重新开始

这样我们就可以进行归纳总结

把每个式子化简一下

\(f_1=\cfrac{1}{2} f_1+\cfrac{1}{2} f_2+1\)

\(f_2=\cfrac{1}{2} f_1+\cfrac{1}{2} f_3+1\)

\(f_3=\cfrac{1}{2} f_1+\cfrac{1}{2} f_4+1\)

……

\(f_i=\cfrac{1}{2} f_1+\cfrac{1}{2} f_{i+1}+1\)

……

\(f_n=\cfrac{1}{2} f_1+1\)

然后自己整理一下，就是两个等比数列的和

就得到了\(f_1\)的封闭式

对于任意情况的n时，\(f_1=2^{n+1}-2\)

思路推进

推导出1,……，0,0的期望公式之后，我们如果再后面继续添加1,0,……，0这样一个序列

那么他的期望是直接相加的，因为他是一个复活点（检查点），跟你前面的序列一点关系都没有

所以你无论怎么增加都是一个2的倍数，这样也就得到奇数的时候是无解的

代码实现