POJ 1655 Balancing Act （ 树的重心板子题，链式前向星建图）

题意：

给你一个由n个节点n-1条边构成的一棵树，你需要输出树的重心是那个节点，以及重心删除后得到的最大子树的节点个数size,如果size相同就选取编号最小的

题解：

树的重心定义：
找到一个点,其所有的子树中最大的子树节点数最少,那么这个点就是这棵树的重心,删去重心后，
生成的多棵树尽可能平衡。

洛谷中P5666树的重心  对树的重心还有这样一种描述：

一个大小为 n 的树由 nn 个结点与 n−1 条无向边构成，且满足任意两个结点间有且仅有一条简单路径。在树中删去一个结点及与它关联的边，树将分裂为若干个子树；而在树中删去一条边（保留关联结点，下同），树将分裂为恰好两个子树。

对于一个大小为 n 的树与任意一个树中结点 c，称 c 是该树的重心当且仅当在树中删去 c 及与它关联的边后，分裂出的所有子树的大小均不超过 floor(n/2)（其中 floor⌊x⌋ 是向下取整函数）。对于包含至少一个结点的树，它的重心只可能有 1 或 2 个。

树的重心的性质：
1.树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的；如果有两个重心，那么他们的距离和一样。
2.把两个树通过一条边相连得到一个新的树，那么新的树的重心在连接原来两个树的重心的路径上。
3.把一个树添加或删除一个叶子，那么它的重心最多只移动一条边的距离。

回归原题：

这道题我们可以随便找一个节点当作树根，然后dfs处理出来每一个节点的子节点的数量sonnum和每一个节点的子树中最大那颗子树的大小sonmax

树的定义中说过：“找到一个点,其所有的子树中最大的子树节点数最少,那么这个点就是这棵树的重心”

那么对于一个节点x，它所有子树中最大子树节点数就是：max(sonmax[i],n-sonnum[i])

sonmax[i]：表示的是x节点的子树中最大那颗子树的大小

n-sonnum[i]：表示的是不是x的子节点的剩下所有点构成的那颗树的大小

代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define mem_(a) memset(a,-1,sizeof(a))
const int maxn=2e4+10;
const int INF=0x3f3f3f3f;
//链式前向星
struct node
{
    int to,w,next;
}e[maxn*2]; //这个是有多少边数组就开多少
int head[maxn],cnt,sonnum[maxn],sonmax[maxn];
void add_edge(int x,int y,int z)
{
    e[cnt].to=y;
    e[cnt].w=z;
    e[cnt].next=head[x];
    head[x]=cnt++;
}
void dfs(int now,int pre)
{
    sonnum[now]=1;
    sonmax[now]=0;
    for(int i=head[now];~i;i=e[i].next)
    {
        int to=e[i].to;
        if(to==pre) continue;
        dfs(to,now);
        sonnum[now]+=sonnum[to];
        sonmax[now]=max(sonmax[now],sonnum[to]);
    }
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        cnt=1;
        mem_(head);
        for(int i=1;i<n;++i)
        {
            int x,y;
            scanf("%d%d",&x,&y);
            add_edge(x,y,0);
            add_edge(y,x,0);
        }
        dfs(1,0);
        int minn=INF,pos;
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            //根据树的重心的定义，我们发现判断一个点是不是重心 只要把这个点去掉
            //看它剩下的子树结点的个数的最大值是不是最小就ok了
            //子树有两种：一个是往下的即sonMax[i]，另一个是往上的 即n - sonNum[i]
            //printf("%d %d***********\n",sonmax[i],n-sonnum[i]);
            if(minn>max(sonmax[i],n-sonnum[i]))
            {

                minn=max(sonmax[i],n-sonnum[i]);
                pos=i;
            }
        }
        printf("%d %d\n",pos,minn);
    }
    return 0;
}