P5159 WD与矩阵

思路

奇怪的结论题

考虑增量构造，题目要求每行每列都有偶数个1，奇偶性只需要增减1就能够调整了，所以最后一列一行一定能调整前面n-1阶矩阵的值，所以前面可以任选

答案是\(2^{(n-1)(m-1)}\)

当时怎么也考虑不清楚最后一行和最后一列交点的值，但是莽了一发发现对了。。

看了shadowice1984的题解之后才学会了证明

假设每行填的都是一个二进制数，最后一行填的必然是前面的异或和

因为每行的数都有偶数个二进制位，对于异或，有\(bitcount(a\oplus b)=bitcount(a)+bitcount(b)-2\times bitcount(a \& b)\)

所以最后一行必然有偶数个二进制位，必然合法

另外，长度为m的二进制数有偶数个二进制位的恰好有\(2^{m-1}\)个

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define int long long
using namespace std;
const int MOD = 998244353;
int n,m;
int pow(int a,int b){
    int ans=1;
    while(b){
        if(b&1)
            ans=(ans*a)%MOD;
        a=(a*a)%MOD;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
signed main(){
    int T;
    scanf("%lld",&T);
    while(T--){
        scanf("%lld %lld",&n,&m);
        printf("%lld\n",pow(2,(n-1)*(m-1)));
    }
    return 0;
}