题目描述

给定一个字符串,求它的最长回文子串的长度。

分析与解法

最容易想到的办法是枚举所有的子串,分别判断其是否为回文。这个思路初看起来是正确的,但却做了很多无用功,如果一个长的子串包含另一个短一些的子串,那么对子串的回文判断其实是不需要的。同时,奇数和偶数长度还要分别考虑。

Manacher算法可以解决上述问题,并在O(n)时间复杂度内求出结果。下面我们来看一下Manacher算法。

首先,为了处理奇偶的问题,在每个字符的两边都插入一个特殊的符号,这样所有的奇数或偶数长度都转换为奇数长度。比如,abc变为#a#b#c#。

同时,为了避免处理越界问题,在字符串的开始插入另一个特殊字符。比如,$#a#b#c#。

以字符串12212321为例,插入#和$这两个特殊符号,变成了 S[] = "$#1#2#2#1#2#3#2#1#",然后用一个数组 P[i] 来记录以字符S[i]为中心的最长回文子串向左或向右扩张的长度(包括S[i])。

比如S和P的对应关系:

  • S # 1 # 2 # 2 # 1 # 2 # 3 # 2 # 1 #
  • P  1 2 1 2  5 2 1 4 1  2 1 6 1 2 1  2  1

可以看出,p[i]-1刚好是原字符串中最长回文子串的长度,为5.

接下来需要计算p[i],Manacher算法需要两个辅助变量id和mx,其中id表示最大回文子串中心的位置,mx则为id+p[id],也就是最大回文子串的边界。可以得到一个结论:

  • 如果mx > i,那么P[i] >= Min(P[2 * id - i], mx - i)

我们再来看下这个结论是怎么得到的。

令j = 2*id - i,也就是说j是i关于id的对称点。

当 mx - i > P[j] 的时候,以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中,由于i和j对称,以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中,所以必有P[i] = P[j];

当 P[j] >= mx - i 的时候,以S[j]为中心的回文子串不一定完全包含于以S[id]为中心的回文子串中,但是基于对称性可知,下图中两个绿框所包围的部分是相同的,也就是 说以S[i]为中心的回文子串,其向右至少会扩张到mx的位置,也就是说 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否对称,再具体匹配。

此外,对于 mx <= i 的情况,因为无法对 P[i]做更多的假设,只能让P[i] = 1,然后再去匹配。

由此,就可以得出结论。通过以上算法,有代码:

 int Manacher(char *s){
//new一个字符串,插入'$','#'
//比如s = "aba" newS = "$#a#b#a#"
int len = * strlen(s) + ;
char *newS = new char[len];
int j = ;
newS[] = '$';
for (int i = ; s[i] != '\0'; ++i){
newS[j++] = '#';
newS[j++] = s[i];
}
newS[j++] = '#';
newS[j] = '\0'; //begin
int *p = new int[len - ];
int mx = , id = ;
memset(p, , sizeof(p));
int maxLen = ;
for (int i = ; newS[i] != '\0'; ++i){
if (mx > i){
p[i] = min(p[ * id - i], mx - i);
}
else
p[i] = ;
while (newS[i + p[i]] == newS[i - p[i]])
++p[i];
if (i + p[i] > mx){
mx = p[i] + i;
id = i;
}
if (p[i] > maxLen)
maxLen = p[i] - ;
} return maxLen ;
}

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