【10.5校内测试】【DP】【概率】

转移都很明显的一道DP题。按照不优化的思路，定义状态$dp[i][j][0/1]$表示吃到第$i$天，当前胃容量为$j$，前一天吃（1）或不吃（0）时能够得到的最大价值。

因为有一个两天不吃可以复原容量的定义，所以需要前一天的状态。

而注意，容量表示的是当前第$i$天吃之前的容量。

然后考虑压缩空间，将天数滚动。要注意的是滚动过后$now$指向的是$i$后一天的状态，因此刷表更新。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, m;
int a[], dp[][][], ap[];

int main() {
    freopen("buffet.in", "r", stdin);
    freopen("buffet.out", "w", stdout);
    scanf("%d%d", &n, &m);
    int ans = ;
    for(int i = ; i <= n; i ++)    scanf("%d", &a[i]);
    ap[] = m;
    for(int i = ; i <= n; i ++) ap[i] = ap[i-] *  / ;
    int now = ;
    memset(dp[now], -, sizeof(dp[now]));
    dp[][][] = ;
    for(int i = ; i <= n; i ++) {
        now ^= ;
        memset(dp[now], -, sizeof(dp[now]));
        for(int j = ; j <= n; j ++) {
            if(~dp[now^][j][]) {
                dp[now][][] = max(dp[now][][], dp[now^][j][]);
                dp[now][j+][] = max(dp[now][j+][], dp[now^][j][] + min(a[i], ap[j]));
            }
            if(~dp[now^][j][]) {
                dp[now][j+][] = max(dp[now][j+][], dp[now^][j][] + min(a[i], ap[j]));
                dp[now][j-][] = max(dp[now][j-][], dp[now^][j][]);
            }
        }
    }
    for(int i = ; i <= n; i ++)
        ans = max(ans, max(dp[now][i][], dp[now][i][]));
    printf("%d", ans);
    return ;
}

概率神题，三校只有$yuli$dalao$A$掉了%%%%

非常神奇的记忆化搜索，就算我能把式子推出来也会弄晕的QAQ

定义$dp[i][j]$表示当前剩余$i$个人，当前编号为$j$的人的存活概率。枪在当前1号手中。

注意这个当前，表示的是此时剩下来的人重新从0编号。

可以推出转移式子：$dp[i][j]=q*dp[i-1][j-1]+(1-q)*dp[i][(j-kmodi+i)modi]$，$q$表示当前这枪打出去能打出来的概率。$q=(i-1)/C$，因为当前子弹比人数要少1。前一个式子是打出了这个枪，于是0死了，j在剩下的人中号数要-1，（1把枪移交2相当与2变为了现在的1），后面的式子是打了空枪，枪移交给后面第k个人，同样也是把整个队列往前移k位。

观察式子可以发现，$dp[i-1][j-1]$我们可以在记忆化搜索中递归求得，而后面$dp[i][(j-kmodi+i)modi]$是与$dp[i][j]$同层的，考虑怎么求得。

可以发现，如果一直打空枪，从$j$开始，一定可以通过环走回$j$。所以在递归边界式子变为$dp[i][j]=o+(1-q)^ndp[i][j]$，其中每个$(1-q)$虽然不同，但在搜索过程中可以顺便算出来。$o$表示的是在以后的层数中可以求得的，因为我们可以把$dp[i][(j-kmodi+i)modi]$带入最开始的转移式，再把它们按层数分离。然后就按分离出来的式子将每一步更新即可。

过程中记忆化即可。然后概率要用逆元，可以预处理出来。

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define mod 1000000009
using namespace std;

int T, N, C, K;

int vf[];
int dp[][], vis[][];
LL mpow(int a, LL b) {
    LL ans = ;
    for(; b; b >>= , a = 1ll * a * a % mod)
        if(b & )    ans = 1ll * ans * a % mod;
    return ans;
}

int dfs(int res, int pos, int oo, int gl) {
    if(pos == -)    return ;
    if(res == )    return ;
    if(vis[res][pos] && dp[res][pos] == -) {//同层中走回来了 可以直接算
        dp[res][pos] = 1ll * oo * mpow(( - gl + mod) % mod, mod - ) % mod;
        return dp[res][pos];
    }
    if(vis[res][pos])    return dp[res][pos];//记忆化
    vis[res][pos] = ;
    dfs(res, (pos - K % res + res) % res, (oo + 1ll * gl * (res - ) % mod * vf[C] % mod * dfs(res - , pos - , , ) % mod) % mod, 1ll * gl * (C - res + ) % mod * vf[C] % mod);//子弹共有res-1个
    if(~dp[res][pos])    return dp[res][pos];
    dp[res][pos] = (1ll * (res - ) * vf[C] % mod * dfs(res - , pos - , , ) % mod + 1ll * (C - res + ) * vf[C] % mod * dp[res][(pos - K % res + res) % res] % mod) % mod;
    return dp[res][pos];
}

int main() {
    freopen("gun.in", "r", stdin);
    freopen("gun.out", "w", stdout);
    scanf("%d", &T);
    for(int i = ; i <= ; i ++)    vf[i] = mpow(i, mod - );
    while(T --) {
        memset(vis, , sizeof(vis));
        memset(dp, -, sizeof(dp));
        scanf("%d%d%d", &N, &C, &K);
        for(int i = ; i < N; i ++)
            printf("%d ", dfs(N, i, , ));
        printf("\n");
    }
}