[BZOJ 5074]小B的数字

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给你一个长度为 \(n\) 的序列 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) ，让你生成另一个序列 \(b_1,b_2,\cdots,b_n\) ，使得 \(\forall i\in [1,n],b_i=2^{k},k\in\mathbb{Z^*}\) 并且对于 \(\forall i\in [1,n],\prod\limits_{j=1}^n b_j{\large\mid} b_i^{a_i}\) 。 \(T\) 组询问，询问能否构造出这样的 \(b\) 。

\(1\leq n\leq 10^5,a_i\leq 10, T\leq 10\)

Solution

考虑让 \(b_i=2^{c_i},c_i\in \mathbb{Z^*}\) ，那么题设的条件就变为 \(\forall i\in [1,n],2^{\sum\limits_{j=1}^nc_j}{\large\mid} 2^{c_i\times a_i}\)

即

\[\begin{equation}\forall i\in [1,n],\sum\limits_{j=1}^nc_j\leq c_i\times a_i\end{equation}\]

容易发现将 \(c_i\) 整体扩大某个整数倍上述式子依旧成立。

对于 \((1)\) 式，变形为 \(\forall i\in [1,n],\frac{\sum\limits_{j=1}^nc_j}{a_i}\leq c_i\) 。

那么

\[\begin{aligned}\sum_{i=1}^n\frac{\sum\limits_{j=1}^nc_j}{a_i}&\leq \sum_{i=1}^nc_i\\\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i}&\leq 1\end{aligned}\]

我们只要证明上述不等式是 \((1)\) 式的充要条件即可。

对于必要性，比较显然，因为 \((1)\) 式成立的话，上述式子一定成立。

证明充分性，假设上式不成立，那么 \((1)\) 式一定不成立；假设上式子成立，我们考虑令 \(c_i=\frac{1}{a_i}\) 那么两个式子就是相同的。

由上述结论，我们可以构造这样的一组 \(b_i=2^{c_i}\) ， \(c_i=\frac{1}{a_i}\) 。

由之前的结论：将 \(c_i\) 整体扩大某个整数倍式子依旧成立。不妨让 \(c_i\) 乘上 \(\text{lcm}_{i=1}^n a_i\) 那么得到解了。

所以判断存在性，只需判断是否满足 \(\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{a_i}\leq 1\) 。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int fac = 3628800;

void work() {
    int n, x; long long s = 0; scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &x), s += fac/x;
    puts(s <= fac ? "YES" : "NO");
}
int main() {int t; cin >> t; while (t--) work(); return 0; }