模板：插头dp

前言：

严格来讲有关dp的都不应该叫做模板，因为dp太活了，但是一是为了整理插头dp的知识，二是插头dp有良好的套路性，所以姑且还叫做模板吧。

这里先推荐一波CDQ的论文和这篇博客http://www.yhzq-blog.cc/%E6%8F%92%E5%A4%B4dp-%E4%BB%8E%E4%B8%8D%E4%BC%9A%E5%88%B0%E5%B4%A9%E6%BA%83/，下列一部分知识借鉴了他们的思想与内容。

————————————————————————

问题引入：

URAL1519：Formula 1

题目大意：给一个网格，有些网格有障碍，问有多少条哈密顿回路。

————————————————————————

概念引入：

插头dp：基于连通性状态压缩的动态规划。

插头：（对于本问题而言）一个格子可以与外面相连的边，显然通常是有上下左右四个插头。

轮廓线：已决策格子和未决策格子的分界线。

性质：

对于轮廓线上从左到右的四个插头abcd，如果a与c联通，则b与d一定不连通。

（可感性理解，也可对照论文看证明，证明并不难）

————————————————————————

在讲之前，我先阐述一下我对于插头dp的理解模型：水管游戏。

（本文会使用水管游戏的一些概念）

玩完了吧，是不是很好玩？好玩的话我们就正式开始学习插头dp吧。

（但是请注意一个水管只允许有两个口，和游戏中不一样）

（好了不要玩游戏了……）

————————————————————————

最小表示法：

首先定义连通性：如果两个格子的水管是相接的，那么称这两个格子是联通的。多个联通的格子组成了联通块。

这就给我们一种表示轮廓线当前状态的方法：f(i,j,S)表示逐格递推到(i,j)格的时候我们的状态为S，其中S中"0"代表无插头，否则均有插头，且数字相同的插头联通。

但是这样很慢（S的进制不是很优，无法常数优化，且可能造成多余的状态）

————————————————————————

括号表示法：

看一看那个结论，不觉得恨眼熟吗？是不是和括号很像啊？

括号表示法就是这样的方法：

我们令

0=无插头

1=左匹配插头"("

2=右匹配插头")"

（当然我们为了常数优化通常取四进制，这样就可以位运算了）

那么显然1与2配对的时候代表我们查到了一个联通块，且不能出现([)]的情况，所以这种表示方法得到的状态是唯一的。

它显然比上一种方法（在常数上）更优，所以我们可以采用这种方法的话一般采用这种方法。

（至于独立插头……emm……网上没有一个人写过这个……）

————————————————————————

实现：

实现蛮好想的，具体的算法构架如下：

1.模拟轮廓线移动。

2.枚举当前可能出现的所有状态。

3.对于新更新的格子，合并/分离/维持联通块。

4.将新状态更新为括号表示/最小表示法，存储。

存储的方法使用哈希表即可。

其中最关键（也是最复杂）的地方为3，但是由于作者懒，所以请参考文章开头提供的博客，那里有图文注释，比较容易能看懂。

————————————————————————

总结：

其实插头dp不难，但是在我想到用水管游戏解释插头之前我确实是mengbier，所以说这个东西就是理解起来困难，理解了就真的不难了。

强烈推荐先抄一个代码，大致实现一下插头dp，感性理解有助于接下来的做题。

（比如我的代码就是抄的那篇博客……）

例题：

最小表示法：

BZOJ2595：[Wc2008]游览计划：http://www.cnblogs.com/luyouqi233/p/8258525.html

括号表示法：

URAL1519：Formula 1：http://www.cnblogs.com/luyouqi233/p/8256801.html

BZOJ1187：[HNOI2007]神奇游乐园：http://www.cnblogs.com/luyouqi233/p/8260236.html

灵活运用：

BZOJ2331：[SCOI2011]地板：http://www.cnblogs.com/luyouqi233/p/8261279.html