Chtholly Tree 学习笔记

前言

珂朵莉树 (Chtholly Tree) 是一种简单优美的数据结构，就像 Chtholly 一样可爱。暴力即优美。适用于一些有区间赋值操作的序列操作题。

Chtholly Tree 的本质是把一个序列分成几个连续区间，每个区间内的元素的值相同，然后用一个 std::set 维护所有区间。

然后就可以通过一些神奇的操作，做到在数据随机的情况下 $O(logn)$ 查询区间信息。时间复杂度我不会证QAQ。

当然也可以手写 std::set ，但是那样子还不如直接用平衡树做题。

事实上，Chtholly Tree 的适用范围很小，只能在某些保证数据随机且有区间赋值操作的题目中使用，别的情况下就是“你比暴力多个 log ”。而且一般来说出题人没有不卡 Chtholly Tree 的。虽然有时可以吸氧水过去。

竞赛一般不会考 Chtholly Tree ，但是多学一种数据结构也不是坏事嘛。尤其是 Chtholly 这么可爱。

零. 前置知识

你需要关于 std::set 的基础知识：

set s; 建立一个类型为 type 的set。
s.insert(x); 向 $s$ 中插入一个值为 $x$ 的元素。该函数的返回值为 pair<iterator,bool>，之后会用到这一返回值。
s.erase(itl, itr); 删除 s 中的一段区间$[itl,itr)$，其中 $itl$, $itr$ 的类型为 set::iterator，也就是两个迭代器。
s.lower_bound(x); 在 s 中二分查找大于等于 $x$ 的元素，返回指向第一个大于等于 $x$ 的元素所在的位置的迭代器。

一. 建树

用一个结构体表示每一个小区间。在结构体中记录三个值 $l$ , $r$, $val$ ，分别表示这段区间的左端点、右端点和区间中每个元素的数值。

struct node{

	int l, r;

	mutable ll val;

	node(int L, int R=-1, ll V=0):l(L), r(R), val(V){}

	bool operator<(const node &oth)const{return this->l<oth.l;}

};

set<node> s;

inline void build()

{

	for (int i=1; i<=n; ++i)

    {

        a[i] = read();

        s.insert(node(i, i, a[i]));

    }

    s.insert(node(n+1, n+1, 0));

}

值得一提的地方：

为了保证区间有序，std::set 中的 node 是按照 $l$ 来排序的。也可以理解为我们以 $l$ 作为这个区间的代表。
由于 std::set 自身的原因，$val$ 前必须有 mutable，以便支持区间修改等操作。
在插入所有元素后需要再插入一个虚拟区间，以保证之后在查找区间时不会出错。

这样我们就建好了一棵 Chtholly Tree。

但是这样就和原序列完全一致了，一共有 $n$ 个小区间。所以我们需要一些操作来减少区间的数量。

二. 核心操作：split 和 assign

要想维持珂朵莉树的优秀时间复杂度，这两个操作必不可少。

1.split(index)

这个操作把 std::set 维护的区间从 $index$ 分成两段，且不改变不包含下标 $index$ 的区间。

步骤如下：

首先在已有的区间中查找 $l=index$ 的区间，如果找到了就直接返回，否则进行下一步操作。
经过上一步操作，我们要找的 $index$ 一定已经被包含在一个区间中，所以我们要把包含 $index$ 的区间分成两个更小的区间。具体来说，我们找到包含 $index$ 的区间，然后删除该区间 $[l,r]$ ，再在 std::set 中插入区间 $[l,index-1]$ 和区间 $[index,r]$ ，$val$ 值当然都为原区间的 $val$。
$\operatorname{split}$ 操作会增加 std::set 维护的区间数量，但是这对时间复杂度基本不影响。
$\operatorname{split}(index)$ 操作的返回值是一个指向以 $index$ 为 $l$ 的区间的迭代器，理解为指针即可。利用了 std::set 的 insert 操作的返回值。

#define IT set<node>::iterator

IT split(int ind)

{

	IT it = s.lower_bound(node(ind));

	if(it != s.end()&&it->l == ind)return it;

	--it;

	int xl = it->l, xr = it->r;

	ll v = it->val;

	s.erase(it);

	s.insert(node(xl, ind-1, v));

	return s.insert(node(ind, xr, v)).first;

}

以上就是 Chtholly Tree 的核心操作。

之后如果要对一段区间 $[l,r]$ 进行操作，只需要分离出区间 $[l,r]$，然后用最朴素的方法乱搞即可。

2.assign(x, y, z)

$\operatorname{assign}(x, y, z)$：把一段区间 $[x,y]$ 的值全部赋成一个数 $z$ 。

能使用 Chtholly Tree 的题目都会有这个操作。足够的 $\operatorname{assign}$ 操作是 Chtholly Tree 时间复杂度的保障。

事实上 $\operatorname{assign}(x,y,z)$ 操作很好实现，我们只需要分离出左端点为 $x$ 的区间，再分离出左端点为 $y+1$ 的区间，用一个元素值都为 $z$ 值区间 $[x,y]$ 替换掉这两个区间中的所有区间即可。

void assign(int l ,int r, ll v)

{

	IT itr = split(r+1), itl = split(l);

	s.erase(itl, itr);

	s.insert(node(l, r, v));

}

值得注意的地方：

$\operatorname{split}$ 的顺序最好按照代码中的顺序，否则可能会有玄学错误。

事实上，Chtholly Tree 的基础操作只有以上的 $\operatorname{split}$ 和 $\operatorname{assign}$。只要掌握了这两个操作，任何能用 Chtholly Tree 求解的题目就都不难做了。

另外，以上的操作不会使 Chtholly Tree 维护的区间产生重复或遗漏的情况。

三. 一道最经典的题目：CF896C

CF896C Willem, Chtholly and Seniorious

题意：给定一个长度为 $n$ 的序列 $a$ ，一共有 $m$ 个操作，包含以下四种：

$(1,l,r,x)$ : 给定一段区间 $[l, r]$ ，把这段区间内的每一个元素都加上 $x$ 。
$(2,l,r,x)$ : 给定一段区间 $[l, r]$ ，把这段区间内的每一个元素都变成 $x$ 。
$(3,l,r,x)$ : 给定一段区间 $[l, r]$ ，求这段区间内排名为 $x$ 的元素。
$(1,l,r,x,y)$ : 给定一段区间 $[l, r]$ ，求这段区间内的所有元素的 $x$ 次方和 $\bmod\ y$ 的值，即求$\sum_{i=l}^r({a_i}^x)\ \bmod\ y$。
$n \leq 10^5 $, $m \leq 10^5 $

保证数据随机生成。

以上标黑的字体就是本题可以使用 Chtholly Tree 的关键：区间赋值操作和数据随机生成。

接下来我们考虑如何用 Chtholly Tree 实现本题的四个操作。

首先可以发现操作2就是 $\operatorname{assign}$ 操作，直接套用即可。

void assign(int l ,int r, ll v)

{

	IT itr = split(r+1), itl = split(l);

	s.erase(itl, itr);

	s.insert(node(l, r, v));

}

接下来考虑操作1。我们可以分离出区间 $[l,r]$ ，然后暴力把这段区间内的每一个结点的 $val$ 都加上 $x$ 。

这样就行了。

void add(int l, int r, ll v)

{

	IT itr = split(r+1), itl = split(l);

	for(;itl!=itr;++itl)

		itl->val += v;

}

就是这么暴力，所以 Chtholly Tree 才优美。

关于时间复杂度的问题，之后会再做讨论。

然后考虑操作3。我们先把区间 $[l,r]$ 中的所有结点暴力取出来，放进一个 std::vector 里，按照 $val$ 排序，然后暴力枚举 vector 中的元素，每次记录当前已经枚举过的元素的数量，直到找到第 $x$ 大的元素即可返回。

注意 Chtholly Tree 的结点中存的是一段区间，记录当前枚举过元素的数量时要加上这段区间的长度。

ll krank(int l ,int r, ll k)

{

	vp.clear();

	IT itr = split(r+1), itl = split(l);

	for(;itl!=itr;++itl)

		vp.push_back(make_pair(itl->val, itl->r-itl->l+1));

	sort(vp.begin(), vp.end());

	for(vector<pair<ll, int> >::iterator it = vp.begin();it!=vp.end();++it)

	{

		k -= it->second;

		if(k<=0) return it->first;

	}

	return -1ll;

}

最后是操作4。还是暴力枚举区间中的结点，然后快速幂计算每个元素 $x$ 次方和即可。

还是要注意Chtholly Tree 的结点中存的是一段区间，所以每一个结点对答案的贡献要乘上区间长度，另外注意取模。

ll power(ll x, ll p, ll mod)

{

	ll res = 1, base = x%mod;

	while(p)

	{

		if(p&1)res = res*base%mod;

		base = base*base%mod;

		p>>=1;

	}

	return res%mod;

}

ll sum(int l, int r, ll p, ll mod)

{

	IT itr = split(r+1), itl = split(l);

	ll res = 0;

	for(;itl!=itr;++itl)

		res = 1ll*(1ll*res+1ll*(itl->r-itl->l+1)*power(itl->val, (ll)p, (ll)mod))%mod;

	return res;

}

就这样，我们以近乎纯暴力的解法完成了这道题的所有操作。

时间复杂度可以感性理解一下：足够随机的 $\operatorname{assign}$ 操作保证了 std::set 中的结点数量不会太多，所以每次区间操作都是跑不满 $n$ 的。单次操作（不算快速幂）的期望时间复杂度应该是在 $O(logn)$ 左右，足以通过本题。

完整代码如下：

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<iostream>

#include<set>

#include<vector>

#include<cstring>

#define IT set<node>::iterator

using namespace std;

typedef long long ll;

const int MAXN = 100100;

const int MOD7 = 1e9 + 7;

const int MOD9 = 1e9 + 9;

struct node{

	int l, r;

	mutable ll val;

	node(int L, int R=-1, ll V=0):l(L), r(R), val(V){}

	bool operator<(const node &oth)const{return this->l<oth.l;}

};

set<node> s;

vector<pair<ll, int> > vp;

IT split(int ind)

{

	IT it = s.lower_bound(node(ind));

	if(it != s.end()&&it->l == ind)return it;

	--it;

	int xl = it->l, xr = it->r;

	ll v = it->val;

	s.erase(it);

	s.insert(node(xl, ind-1, v));

	return s.insert(node(ind, xr, v)).first;

}

void assign(int l ,int r, ll v)

{

	IT itr = split(r+1), itl = split(l);

	s.erase(itl, itr);

	s.insert(node(l, r, v));

}

void add(int l, int r, ll v)

{

	IT itr = split(r+1), itl = split(l);

	for(;itl!=itr;++itl)

		itl->val += v;

}

ll krank(int l ,int r, ll k)

{

	vp.clear();

	IT itr = split(r+1), itl = split(l);

	for(;itl!=itr;++itl)

		vp.push_back(make_pair(itl->val, itl->r-itl->l+1));

	sort(vp.begin(), vp.end());

	for(vector<pair<ll, int> >::iterator it = vp.begin();it!=vp.end();++it)

	{

		k -= it->second;

		if(k<=0)return it->first;

	}

	return -1ll;

}

ll power(ll x, ll p, ll mod)

{

	ll res = 1, base = x%mod;

	while(p)

	{

		if(p&1)res = res*base%mod;

		base = base*base%mod;

		p>>=1;

	}

	return res%mod;

}

ll sum(int l, int r, ll p, ll mod)

{

	IT itr = split(r+1), itl = split(l);

	ll res = 0;

	for(;itl!=itr;++itl)

		res = 1ll*(res+1ll*(itl->r-itl->l+1)*power(itl->val, (ll)p, (ll)mod))%mod;

	return res;

}

ll n,m,seed,vmax,a[MAXN];

ll rnd()

{

    ll ret = seed;

    seed = (seed * 7 + 13) % MOD7;

    return ret;

}

int main()

{

    scanf("%d %d %lld %lld",&n,&m,&seed,&vmax);

    for (int i=1; i<=n; ++i)

    {

        a[i] = (rnd() % vmax) + 1;

        s.insert(node(i,i,a[i]));

    }

    s.insert(node(n+1, n+1, 0));

    for (int i =1; i <= m; ++i)

    {

        int op = int(rnd() % 4) + 1;

        int l = int(rnd() % n) + 1;

        int r = int(rnd() % n) + 1;

        if (l > r)

            std::swap(l,r);

        int x, y;

        if (op == 3)

            x = int(rnd() % (r-l+1)) + 1;

        else

            x = int(rnd() % vmax) +1;

        if (op == 4)

            y = int(rnd() % vmax) + 1;

        if (op == 1)

            add(l, r, ll(x));

        else if (op == 2)

            assign(l, r, ll(x));

        else if (op == 3)

            printf("%lld\n",krank(l, r, ll(x)));

        else

            printf("%lld\n",sum(l, r, ll(x), ll(y)));

    }

    return 0;

}

四.其他题目（随时更新）

另外还有一道可以用 Chtholly Tree 吸氧做的题：P2146 [NOI2015]软件包管理器

正解是重链剖分+线段树，但是用 Chtholly Tree 吸氧也能过。