时间序列分析 2.X 单位根检验

单位根检验 (基于模型检验序列是否平稳)

趋势平稳序列

\(X_{t}=\beta_{0}+\beta_{1} t+Y_{t}\)

\(Y_t\) 为平稳序列, 则称 \(X_t\) 为趋势平稳序列

差分平稳序列

如果 \(X_{t}\) 经差分之后的序列 \(\nabla^{d} X_{t}\) 是平稳的, 则称 \(X_{t}\) 为差分平稳序列; 差分平稳序列可以表示为

\[\phi(B)(1-B)^{d} X_{t}=\theta(B) Z_{t}
\]

基于 \(AR(1)\) 的平稳检验

\(M_{trend}\)

检验序列是否趋势平稳, 等价于对

\[\begin{aligned}M_{\text {trend }}: \quad x_{t}&=\beta_{0}\left(1-\phi_{1}\right)+\beta_{1} \phi_{1}+\beta_{1}\left(1-\phi_{1}\right) t+\phi_{1} x_{t-1}+Z_{t}\\
&=\omega+\delta t+\phi_{1} x_{t-1}+Z_{t}
\end{aligned}\]

考虑假设检验问题

\[H_{0}: \phi_{1}=1~(差分平稳) \leftrightarrow H_{1}: \phi_{1}<1~(趋势平稳)
\]

\(M_{none}\)

检验序列是否随机漫步, 等价于对

\[M_{\text {none }}: \quad x_{t}=\phi_{1} x_{t-1}+Z_{t}
\]

考虑假设检验

\[H_{0}: \phi_{1}=1~(随机漫步) \leftrightarrow H_{1}: \phi_{1}<1~(平稳的 AR(1))
\]

\(M_{drift}\)

检验序列是否为带漂移项的随机漫步

\[M_{\text {drift }}: \quad x_{t}=\phi_{0}+\phi_{1} x_{t-1}+Z_{t}
\]

考虑假设检验

\[H_{0}: \phi_{1}=1~(带漂移项的随机漫步) \leftrightarrow H_{1}: \phi_{1}<1~(平稳的 AR(1))
\]

基于 \(AR(p)\) 的平稳检验

由于上述检验的检验统计量分布的问题, 所以对 \(M_{trend}\) \(M_{none}\) \(M_{drift}\) 分别同时两边减去 \(X_{t-1}\)

假设检验变为

\[H_{0}: \gamma=0~ \leftrightarrow H_{1}: \gamma<0
\]

检验统计量变为

\[\tau=\frac{\hat{\gamma}}{s \cdot e .(\hat{\gamma})}
\]

结论一一对应

\(M_{none}\) \((tau1)\)

\[\begin{aligned}M_{none}:
x_{t}&=\phi_{1} x_{t-1}+\phi_{2} x_{t-2}+\cdots+\phi_{p} x_{t-p}+Z_{t}
\end{aligned}\]

变形为

\[M_{\text {none }}: \quad \nabla x_{t}=\gamma x_{t-1}+\sum_{j=2}^{p} \beta_{j} \nabla x_{t-j+1}+Z_{t}
\]

假设检验为

\[H_{0}: \gamma=0~(不带漂移项的单位根非平稳过程) \leftrightarrow H_{1}: \gamma<0~(中心化的 AR(p))
\]

检验统计量为

\[tau1=\frac{\hat{\gamma}}{s \cdot e .(\hat{\gamma})}
\]

\(M_{drift}\)

\[x_{t}=\phi_{0}+\phi_{1} x_{t-1}+\phi_{2} x_{t-2}+\cdots+\phi_{p} x_{t-p}+Z_{t}
\]

变形为$$M_{\text {drift }}: \quad \nabla x_{t}=\phi_{0}+\gamma x_{t-1}+\sum_{j=2}^{p} \beta_{j} \nabla x_{t-j+1}+Z_{t}$$

\(tau2\)

假设检验为

\[H_{0}: \gamma=0~(带漂移项的单位根非平稳过程) \leftrightarrow H_{1}: \gamma<0~(未中心化的 AR(p))
\]

检验统计量为

\[tau2=\frac{\hat{\gamma}}{s \cdot e .(\hat{\gamma})}
\]

\(phi1\)

假设检验为

\[H_{0}: \phi_0=\gamma=0~(不带漂移项的单位根非平稳过程) \leftrightarrow H_{1}:
\]

检验统计量为

\[phi1
\]

\(M_{trend}\)

\[x_{t}=\phi_{0}+\delta t+\phi_{1} x_{t-1}+\phi_{2} x_{t-2}+\cdots+\phi_{p} x_{t-p}+Z_{t}
\]

变形为 $$M_{\text {trend }}: \quad \nabla x_{t}=\phi_{0}+\delta t+\gamma x_{t-1}+\sum_{j=2}^{p} \beta_{j} \nabla x_{t-j+1}+Z_{t}$$

\(tau3\)

假设检验为

\[H_{0}: \gamma=0 \leftrightarrow H_{1}: \gamma<0
\]

检验统计量为

\[tau3
\]

\(phi2\)

假设检验为

\[H_{0}: \phi_0=\delta=\gamma=0 \leftrightarrow H_{1}:
\]

检验统计量为

\[tau2
\]

\(phi3\)

假设检验为

\[H_{0}: \delta=\gamma=0 \leftrightarrow H_{1}:
\]

检验统计量为

\[tau3
\]