「HNOI 2013」游走

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\(Solution\)

首先申明几个变量：

f[x]:到点x的概率,

vis[x]:x点的度

dp[x][y]:(x,y)这条边的概率

number[x][y]:x这条边的编号

下面的式子保证存在一条(x,y)的边

我们可以知道总分的期望为：

\[\sum dp[x][y]*number[x][y]
\]

即:所有边的期望成这条边的编号的和

那么\(dp\)数组怎么算呢?

\[dp[x][y]=\frac{f[x]}{vis[x]}+\frac{f[y]}{vis[y]}
\]

所以我们现在的任务就是求出\(f\)数组

再来看看\(f\)数组怎么求?

\[p[x]=\sum\frac{p[y]}{vis[y]}
\]

发现这个式子并不能简单的递推,因为存在环.

于是我们可以列方程接未知数

运用高斯消元就好了.

但是注意:

• 如果有点和\(n\)相连,那么在计算期望时不需要算,因为到了点\(n\)时不会继续走下去了
• 因为开始就在点\(1\)，所以第一个方程的结果要设为\(1\)

解出方程后便可以将\(dp\)数组算出来了.

现在考虑原问题: "现在，请你对这M条边进行编号，使得小Z获得的总分的期望值最小"

我们可以进行贪心

将期望大的边使他编号小

\(Code\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int read(){
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0',c=getchar();
    return x*f;
}
struct node{
    int to,next;
}e[5000010];
int vis[5000010],head[10000001],n,m,cnt,X[1000001],Y[10000001];
void add(int x,int y){
    e[++cnt].to=y,e[cnt].next=head[x],head[x]=cnt;
}
double a[5001][5001],f[1000001],ans=0;
void Gauss(){
    n--,a[1][n+1]=-1;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        int bj=i;
        for(int j=i+1; j<=n; j++)
            if(fabs(a[j][i])>fabs(a[bj][i]))
                bj=j;
        for(int j=1; j<=n+1; j++)
            swap(a[bj][j],a[i][j]);
        if(!a[i][i])
            continue;
        double p=a[i][i];
        for(int j=1;j<=n+1;j++)
            a[i][j]/=p;
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(i!=j){
                double o=a[j][i];
                for(int k=1;k<=n+1;k++)
                    a[j][k]-=a[i][k]*o;
            }
    }
    for(int i=n-1; i>=1; i--)
        for(int j=i+1; j<=n; j++)
            a[i][n+1]-=a[j][n+1]*a[i][j];
}
int main() {
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    	X[i]=read(),Y[i]=read(),add(Y[i],X[i]),add(X[i],Y[i]),vis[X[i]]++,vis[Y[i]]++;
    for(int i=1;i<n;i++){
	    a[i][i]=-1;
	    for(int j=head[i];j;j=e[j].next){
	        int v=e[j].to;
	        if(v!=n)
	    	    a[i][v]=1.0/vis[v];
	    }
    }
    Gauss();
    for(int i=1; i<=m; i++){
	    if(X[i]!=n+1)
	        f[i]+=a[X[i]][n+1]/vis[X[i]];
	    if(Y[i]!=n+1)
	        f[i]+=a[Y[i]][n+1]/vis[Y[i]];
    }
    sort(f+1,f+1+m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
	ans+=f[i]*(m-i+1);
    printf("%0.3lf",ans);
    return 0;
}