CCPC-wannafly Camp Day2 讲课内容总结（杜瑜皓-数据结构）

·栈、单调栈

1.栈的特点与基本操作

2.单调栈

单调栈是一种特殊的栈，其栈内的元素都保持一个单调性（单调递增或者递减）。

　　·单调递增栈,从栈底到栈顶依次递增（单调非递减栈:允许有相等）

　　·单调递减栈,从栈底到栈顶依次递减（单调非递增栈:允许有相等）

qes1.给一个序列，求对于每个数左边第一个比它大的数

做法：维护一个单调栈

①如果当前栈顶的元素比自己小，则将栈顶元素不断弹出，直到遇到第一个比自己大的元素，即为左边第一个比自己大的数

②如果一直弹出直到栈空了，则无法找到左边比自己大的元素

③将自己加入栈顶

更具体做法可参见：https://blog.csdn.net/Floraqiu/article/details/81947461

·笛卡尔树

qes1.求每段区间最小值的和

做法：笛卡尔树

一些性质：

①堆的性质，小根堆，两子的值大于等于父亲的值

②二叉搜索树性质，即左子树的点key(默认为下标)比根小，右子树的点key(默认为下标)比根大显然（增量法构造），按中序遍历这棵树，可得原序列

③询问下标i到下标j之间(i<j)的最小值，只需寻找[i,j]的lca

④修改只会在最右边的一条链上修改，左子树不会再修改。并且右边的链相当于一个栈，出栈的元素进入左子树

以某元素为最小值的区间长度为：（sizeL+1）*（sizeR+1）

参考链接：https://blog.csdn.net/Code92007/article/details/94591571

·队列、单调队列

qes1.求所有区间长度为k的区间的最大值

做法：单调队列（与单调栈类似）

①插入：若新元素从队尾插入后会破坏单调性，则删除队尾元素，直到插入后不再破坏单调性为止，再将其插入单调队列。

②获取最优（最大、最小）值：访问首尾元素

③队首元素超过其存活期则应该弹出　

·STL

1.Vecotor，stack，queue

2.set，map，priority_queue

①set支持insert()，erase()操作

②upper_bound(),lower_bound()不可直接使用，要加上s.lower_bound()

③map<int，int> x  等价于  set<pair<int,int>>

3.multiset

①支持可重复元素

②erase()操作删除所有相同的元素

③ 对于序列[1，1，2，3，4，4，5] ：lower_bound()找到第一个4，upper_bound()找到第二个4

④对于③中的序列要想只删除多个4中的一个：s.earse(lower_bound(4))

4.unordered_map,unordered_set

①无法使用upper_bound()与lower_bound()

②可在o(1)复杂度内询问元素是否在集合内（本质为哈希表）

qes1.维护一个几个集合，支持插入一个数，删除一个数，求所有数从小到大排序之后的异或和

做法：先将所有元素排序，之后将两两相邻的元素的异或关系加入集合中

　　   删除：将被与删除元素与其相连的两个元素之间的关系删除，再加入与其相连的两个元素新形成的关系

　　   插入：用lower_bound()找到元素对应位置，删除原先的关系，加入新的关系

·树上倍增

qes1.求一个点往上第K个祖先

做法：树上倍增

定义数组fa[i][j]表示i节点的第2^j个父亲是谁。

然后，我们会发现有这么一个性质：

fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1]

用文字叙述为：i的第2^j个父亲 是i的第2^(j-1)个父亲的第2^(j-1)个父亲

例.假设求u的第11个父亲：

①将11转化为二进制1011

②u->f(u,3)->f(u,1)->f(u,0)

qes2.求LCA

①如果两点高度(即深度)相同

for k = log(n) to 0

　　if f(u,k)=f(v,k)

　　　　continue

　　else

　　　　u=f(u,k)

　　　　v=f(v,k)

②如果两点高度不相同，先将低的点跳到与高的点深度相同

qes3.求两点之间路径的最大值

思路：倍增的同时记录下g(u,j)=max(g(u,j-1),g((f(u,j-1),j-1))

qes4.有若干个操作，每次将一条路径上的边全部加上一个值，操作完之后求每条边的权值

与qes3类似，所有可以合并的信息都能用点三的信息求出

·ST表

1.RMQ

一个高效的用于查询区间最大/最小值的方法，其需要O(nlogn))的时间复杂度进行预处理，之后对于每次的区间查询的复杂度为O(1)。

预处理

设mn[i][j]表示从第i位开始连续2^j个数中的最小值。例如mn[2][1]为第2位数开始连续2个的数的最小值，即3, 6之间的最小值，即mn[2][1] = 3;

之后我们很容想到递推方程：

mn[i][j] = min(mn[i][j - 1], mn[i + (1 << j - 1)][j - 1])

查询

假设我们需要查询区间[l, r]中的最小值，令k = log2(r - l + 1); 则区间[l, r]的最小值RMQ[l,r] = min(mn[l][k], mn[r - (1 << k) + 1][k]);

2.RMQ求LCA

①概念
  时间戳 - 该结点dfs首次遍历到的序号，用记录。
  欧拉序 - dfs遍历节点，节点的编号形成的序列，用记录。（包括回溯）

②在欧拉序上进行RMQ：

表示从开始包括自身在内的个节点中的深度最小值，
表示与对应的节点编号，也就是这个节点的LCA。
LCA在之间（闭区间）且是其中深度最小的节点，这是显然的：（设 ）
有两种情况，是的祖先，此时向下遍历一定会到达；
不是的祖先，由于树上路径的唯一性，在到达后必然会退出，经过，到达。

三.二维RMQ

·分治

思路：将一个大问题分成若干个小问题进行求解

qes1.有一个n*n的矩阵，我们知道每一行最小值的位置单调不降，求每一行最小值的位置

解法：该问题是一个决策单调性问题，我们可以先O(N)暴力找到中间一行的最小值位置，再用分治缩短两边的最小值位置求解

伪代码：

solve(l,r,a,b)  //代表从l-r行，a-b列

　　mid=(l+r)>>1

　　for i= a:b

　　　　find(pos) //找到最小值的位置

　　if l≤mid-1

　　　　solve(l,mid-1,a,pos)

　　if r≥mid+1

　　　　solve(mid+1,r,pos,b)

·线段树

帖一篇的博客：https://www.cnblogs.com/AC-King/p/7789013.html

qes1.一个序列，支持区间加，区间乘，区间求和

难点在于怎么同时维护区间乘与区间加的标记

有点忘了咋做了妈的，就先不写了，依稀记得乘法优先级最高啥的，找了半天博客也没找到怎么写，有遇到具体的题再补吧日

qes2.平面上有n个点，每次询问为一个矩形内有多少个点，允许离线

做法：扫描线

先将所有询问读入，然后按坐标的某一维排序，另一边维加点边查询

qes3.给一个序列，支持区间加，询问区间第一个大于k的数字

做法：线段树上二分，二分区间的位置(后来回去觉得有些奇怪啊，区间又不是有序的咋排序啊，但是dls是这么说的)

qes4.一个长度为n的全排列，进行m次操作，每次操作是把[L,R]这个区间变成升序或降序，求m次操作后x这个位置的数

dls没讲这道题QAQ，希望以后能想出来

·启发式合并

qes1.有若干个集合，支持两个集合合并，求第k大

①先将所有集合内部排序

②每次暴力合并把小集合的合并到大的里

看起来很暴力的一个做法，但是时间复杂度只有(nlogn)

伪代码：

　merge(a,b)

　　size(a)>size(b) //交换两个集合a.swap(b)

　　　　for x ：b

　　　　　　a.insert(b)

qes2.求出每个子树的众数

做法：DSU On Tree(树上启发式合并),dfs到某一个点，将其子树的所有点合并，求集合中的众数

　　子树问题：一个元素都是单独的一个集合

伪代码：

　　dfs(u)

　　Sa={Bu}

　　for v:son[u]

　　　　dfs(v)

　　　　su=Sa U Sv

·Segement  beats(吉如一线段树)

详细博客：https://oi-wiki.org/ds/seg-beats/#ctsn-loves-segment-tree

qes1.给一个序列，支持区间取min，然后询问区间max，区间和（HDU5306 Gorgeous Sequence）

做法：维护区间最大值Max，次大致Se，区间和Sum以及最大值个数Cnt，现在考虑如何对区间取min

①如果Max≤t ，显然这个t是没有意义的，直接返回

②如果 Se ＜ t  ≤ Max 那么这个t就能更新当前区间中的最大值。于是我们让区间和加上 Cnt (t-Max)，然后更新 Max为t  ，并打一个标记

③如果t  ≤ Se，那么这时你发现你不知道有多少个数涉及到更新的问题。于是我们的策略就是，暴力递归向下操作。然后上传信息

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以上就是讲了并且听懂了的内容哈哈哈，下面放上没讲或者没听懂的问题，以后来补哈哈哈

·线段树分治

qes1.动态图支持加边与删边操作，询问连通性，可以离线

·DFS序

qes1.每个点有f个值，每个点的g值为子树的f值之和。支持修改f值，询问子树g值的和

qes2.给你一颗树，边权可能是负数，要求查询u这个点到v这个子树里的最远点

·主席树

qes1.二位数点，强制在线

qes2.区间查询第K大

qes3.求树上两点之间的第K大

qes4.给你一序列a1，a2，...，an。给Q个询问，每次给出l，r，x求l，r之间与x异或之后最大的数

·CDQ分治

qes1.三维数点

qes2.一个图，对于所有i，j，k求出从i到j不经过k的最短路长度