[集训]FWT基础练习题

题意

给出n个长度为20的二进制数和数字k，每次询问给出一个二进制数，问从n个数中挑k个数（不能重复）的按位或能包含询问的组合有多少个。数字均小于等于5E5，1s。

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思考

强行算出2^20个答案，再O(1)询问。

可知按位或的FWT能够将两个数组融合成新的数组。假设F_k表示挑出k个数字能组成的所有可能的桶，A为原始的桶数组，可知F_k[i]=(F_k-1 或运算FWT A)[i]-(k-1)F_k-1[i]，后面减法的目的是减去数被重复选择的部分。

再观察FWT其实是线性变换，因此F_k[i]可以预先乘上k方便下一次计算。因此最开始只要乘上某个组合数即可。

最后根据按位与FWT可得到所有的答案。总复杂度O(nlogn)。

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代码

 #pragma GCC optimize 2
 #include<bits/stdc++.h>
 #define mod 1000000007
 using namespace std;
 typedef long long int ll;
 const int maxn=1E6+5E5+;
 const int LEN=;
 const int G=<<LEN;
 ll n,k,m,a[maxn],b[maxn],c[maxn],d[maxn];
 ll fac[maxn],inv[maxn];
 string str;
 inline int get(string str)
 {
     int sum=;
     for(int i=;i<LEN;++i)
         sum=sum*+str[i]-'';
     return sum;
 }
 ll qpow(ll x,ll y)
 {
     ll ans=,base=x;
     while(y)
     {
         if(y&)
             ans=ans*base%mod;
         base=base*base%mod;
         y>>=;
     }
     return ans;
 }
 void init()
 {
     fac[]=;
     for(int i=;i<=;++i)
         fac[i]=fac[i-]*i%mod;
     inv[]=qpow(fac[],mod-);
     for(int i=-;i>=;--i)
         inv[i]=inv[i+]*(i+)%mod;
 }
 void FWT(ll*A,int t1,int t2)
 {
     for(int len=;len<=G;len<<=)
         for(int i=;i<G/len;++i)
             for(int j=;j<len/;++j)
             {
                 ll a=A[i*len+j],b=A[i*len+j+len/];
                 A[i*len+j]=(a+b*t1)%mod;
                 A[i*len+j+len/]=(b+a*t2)%mod;
             }
 }
 template<class T>void copy(T*a,T*b,int x)
 {
     for(int i=;i<x;++i)
         a[i]=b[i];
 }
 int main()
 {
     ios::sync_with_stdio(false);
     init();
     cin>>n>>k>>m;
     for(int i=;i<=n;++i)
     {
         cin>>str;
         ++a[get(str)];
     }
     copy(c,a,G);
     FWT(a,,);
     for(int i=;i<G;++i)
     {
         if(a[i]>=k)
             a[i]=fac[a[i]]*inv[a[i]-k]%mod;
         else
             a[i]=;
     }
     FWT(a,,-);
     /*
     for(int i=2;i<=k;++i)
     {
         copy(d,a,G);
         FWT(a,0,1);
         copy(b,c,G);
         FWT(b,0,1);
         for(int j=0;j<G;++j)
             a[j]=a[j]*b[j]%mod;
         FWT(a,0,-1);
         for(int j=0;j<G;++j)
             a[j]=(a[j]-d[j]*(i-1)+mod)%mod;
     }
     */
     FWT(a,,);
     while(m--)
     {
         cin>>str;
         cout<<a[get(str)]*inv[k]%mod<<endl;
     }
     return ;
 }